Задача 21943 Решите неравенство log3(4-3^x) <...
Условие
Решение
4-3^x > 0
3^x < 4
3^x < 3^(log_(3)4)
Перепишем уравнение так:
log_(3)(4–3x) + x+2 < log_(3)11
Так как
log_(3)3^(x+2)=x+2
log_(3)(4–3^x) +log_(3)3^(x+2) < log_(3)11
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения
log_(3)(4-3^x)*3^(x+2) < log_(3)11
Логарифмическая функция с основанием 3 монотонно возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
Поэтому
(4-3^x)*3^(x+2) < 11
(4-3^x)*3^x*3^2 < 11
Замена переменной
3^x=t
t > 0
Квадратное неравенство
9t^2-36t+11 > 0
D=(-36)^2-4*9*11=36*(36-11)=36*25=(6*5)^2=(30)^2
t1=1/3 или t2=(11/3)
3^x < (1/3) или 3^x > (11/3)
Учитывая, что t > 0 и согласно ОДЗ 3^x < 4
получаем
3^(x) < (1/3) или 11/3 < 3^x < 4
x < -1 или log_(3)(11/3) < x < log_(3)4
О т в е т. (- бесконечность;-1) U ( log_(3)(11/3); log_(3)4)
Все решения
