Задача 21943 Решите неравенство log3(4-3^x) <...

slava191

1 февраля 2018 г. в 00:00

Решите неравенство log₃(4–3^x) < –x–2+log₃11

SOVA

1 февраля 2018 г. в 00:00

★

ОДЗ:
4–3^x > 0
3^x < 4
3^x < 3^log₃4

Перепишем уравнение так:
log₃(4–3x) + x+2 < log₃11

Так как
log₃3^x+2=x+2

log₃(4–3^x) +log₃3^x+2 < log₃11

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения
log₃(4–3^x)·3^x+2 < log₃11
Логарифмическая функция с основанием 3 монотонно возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
Поэтому
(4–3^x)·3^x+2 < 11
(4–3^x)·3^x·3² < 11

Замена переменной
3^x=t
t > 0
Квадратное неравенство
9t²–36t+11 > 0
D=(–36)²–4·9·11=36·(36–11)=36·25=(6·5)²=(30)²
t1=1/3 или t2=(11/3)

3^x < (1/3) или 3^x > (11/3)
Учитывая, что t > 0 и согласно ОДЗ 3^x < 4
получаем
3^x < (1/3) или 11/3 < 3^x < 4
x < –1 или log₃(11/3) < x < log₃4
О т в е т. (– ∞;–1) U ( log₃(11/3); log₃4)