Задача 52915 помогите решить неравенство...

vk277292461

25 июля 2020 г. в 18:43

помогите решить неравенство

sova

25 июля 2020 г. в 23:10

ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix} x+6 >0\\ -x-4 >0 \end{matrix}\right.[/m]
x ∈ (–6;–4)

[m]\frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}}\leq 1+\frac{1}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}[/m]

Перепишем неравенство в виде:

[m] 1+\frac{1}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq\frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}}[/m]

Получили неравенство вида: f(x) ≥ g(x)

Так как
[m]1+\frac{1}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq 0[/m] при x ∈ (–6;–4)

то рассматриваем два случая:

1)
Если [m] \frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}} ≤ 0[/m],

то неравенство верно при любых x ∈ (–6;–4)

[m] \frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}} ≤ 0[/m] ⇒ [m]\sqrt{x+6} ≤ \sqrt{-x-4}[/m]

⇒ x+6 ≤ –x–4 ⇒ 2x ≤ –10; x ≤ –5

Ответ первого случая (–6;–5]


2)

Если [m] \frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}} > 0[/m], т.е x >–5

Левая и правая части неотрицательны, возводим неравенство в квадрат:

[m] (1+\frac{1}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}})^2\geq(\frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}})^2[/m]

[m] 1+\frac{2}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}+ \frac{1}{(x+6)(-x-4)}\geq \frac{1}{-x-4}-\frac{2}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}+\frac{1}{x+6}[/m]

[m]\frac{4}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq (\frac{1}{x+6}-1) -\frac{1}{-x-4}\cdot (\frac{1}{x+6}-1)[/m]

[m]\frac{4}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq (\frac{1}{x+6}-1)\cdot (1 -\frac{1}{-x-4})[/m]

[m]\frac{4}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq \frac{1-x-6}{x+6}\cdot (\frac{-x-4-1}{-x-4})[/m]

[m]\frac{4}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq \frac{(-x-5)^2}{(x+6)(-x-4)}[/m]

Возводим в квадрат:

[m]\frac{16}{(x+6)(-x-4)}\geq \frac{(-x-5)^4}{(x+6)^2(-x-4)^2}[/m]

[m](-x-5)^{4}\leq16(x+6)(-x-4)[/m]

Замена переменной:

–x–5=t ⇒ x=–t–5

x+6=–t–5+6=–t+1
–x–4=–(–t–5)–4=t+1

[m]t^{4}\leq16(-t+1)(t+1)[/m]

[m]t^{4}+16t^2-16\leq0[/m]

D=256+64=320=(64·5)

[m]t_{1}^2=\frac{-16+8\sqrt{5}}{2}=-8+4\sqrt{5} >0 [/m]

[m]t_{2}^2=\frac{-16-8\sqrt{3}}{2}=-8-4\sqrt{5} <0 [/m]

⇒ [m] (t^2-(-8+4\sqrt{5}))\cdot (t^2-(-8-4\sqrt{5})\leq0[/m]

так как [m]t^2-(-8-4\sqrt{5} \geq0[/m], то


[m]t^2\leq 4\sqrt{3}-8[/m] ⇒ [m] - \sqrt{4\sqrt{5}-8}\leq t \leq \sqrt{4\sqrt{5}-8}[/m] ⇒

[m] - \sqrt{4\sqrt{5}-8}\leq -x-5 \leq \sqrt{4\sqrt{5}-8}[/m] ⇒

[m] - \sqrt{4\sqrt{5}-8}+5 \leq -x \leq \sqrt{4\sqrt{5}-8}+5[/m] ⇒

[m] -\sqrt{4\sqrt{5}-8}-5 \leq x \leq \sqrt{4\sqrt{5}-8}-5[/m]

C учетом условия второго случая x > –5

получаем: [m](-5; \sqrt{4\sqrt{5}-8}-5][/m]

О т в е т.[m] (-6;-5][/m] U [m](-5; \sqrt{4\sqrt{5}-8}-5] =(-6; \sqrt{4\sqrt{5}-8}-5][/m]