Задача 21921 Найдите наибольшее значение выражения...
Условие
Решение
{(24/25)-sinx=(1/25)tg^2z-2*(1/5)tgz*(5/2)cosz+(25/4)cos^2z;
{(24/25)-siny=(1/25)tg^2x-2*(1/5)tgx*(5/2)cosx+(25/4)cos^2x;
{(24/25)-sinz=(1/25)tg^2y-2*(1/5)tgy*(5/2)cosy+(25/4)cos^2y;
Cкладываем
(72/25)-sinx-siny-sinz=
=(1/25)(tg^2x+tg^2y+tg^2z)-sinx-siny-sinz+(25/4)*(cos^2x+cos^2y+cos^2z)
Применяем формулу tg^2 альфа =(1/cos^2альфа) –1.
Получаем:
72/25=(1/25)*((1/cos^2x)-1+(1/cos^2y)-1+(1/cos^2z))-1+
+(25/4)*(cos^2x+cos^2y+cos^2z)
75/25=(1/25)*((1/cos^2x)+(1/cos^2y)+(1/cos^2z))+
+(25/4)*(cos^2x+cos^2y+cos^2z)
Проведем оценку правой части, применим неравенство Коши:
a+b больше или равно 2√ab,
равенство достигается при a=b.
(1/25)*((1/cos^2x)+(1/cos^2y)+(1/cos^2z))+
+(25/4)*(cos^2x+cos^2y+cos^2z) больше или равно
2*((1/(5cosx))*(5/2)*cosx+(1/(5*cosy))*(5/2)*cosy)+(1/(5cosz))*(5/2)*cosz))=3
3 больше или равно 3
Таким образом, в уравнении возможно лишь равенство,
1/(25 cos^2x)=(25/4)cos^2x) ⇒
cos^4x=4/625
cos^2x=2/25
sin^2x=sqrt(621)/25
t=x+y
sin(x+y+z)= sin(t + z) =
= sin(t)cos(z) + cos(t)sin(z) =
= sin(x + y)cos(z) + cos(x + y)sin(z) =
= (sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y))cos(z) + (cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y))sin(z) =
= sin(x)cos(y)cos(z) + cos(x)sin(y)cos(z) + cos(x)cos(y)sin(z) - sin(x)sin(y)sin(z)
[b]Наибольшее значение [/b] равно