Задача 10296 В правильной треугольной пирамиде РАВС...

slava191

01.10.2016

В правильной треугольной пирамиде РАВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра РА отмечена точка М так, что МА:МР=9:16.

а) Докажите, что плоскости РВС и МВС перпендикулярны.
б) Найдите объем пирамиды МАВС.

SOVA

02.10.2016

★

Пусть МА=9х, МР=16х, тогда АР=7х
7х=5 ⇒ х=5/7
Тогда MP=16 • (5/7)=80/7.

Так как пирамида правильная и в основании равносторонний треугольник со стороной 6, то высота пирамиды проектируется в центр описанной окружности.
АО=R=6√3/3=2√3.
АК=h(треугольника АВС)=6√3/2=3√3.
Из равнобедренного треугольника РВС:
апофема РК=4 ( египетский треугольник РКС с гипотенузой 5 и катетом КС=3)
По теореме косинусов из треугольника АРК:
АР=5;РК=4 АК=3√3
сos∠АРК=(АР^2+РK^2-AK^2)/2•AP•PK=
=(25+16-27)/2•5•4=7/20;

∠АРК=∠MРК
Из треугольника МРК по теореме косинусов:
МК^2=МР^2+PK^2-2•МР•РК•сos∠АРК=(80/7)^2+4^2-2•(80/7)•4•(7/20)=5616/49


По теореме косинусов из треугольника МРК:
сos∠MKP =(МK^2+PK^2-MP^2)2•МK•РК;
сos∠MKP=(5616/49)+4^2-(80/7)^2=0
∠MKP=90°

Линейный угол двугранного угла равен 90°.
Плоскости РВС и МВС перпендикулярны.

б) По теореме Пифагора из треугольника АРО:
H(пирамиды РАВС)=РО= √ (5^2-(2√3)^2)=√13.
Из подобия
h(пирамиды МАВС):H(пирамиды РАВС)=АР:МА=7х:9х
h= 9•√13/7
V (пирамиды МАВС)=(1/3)•S( треугольника АВС)•h=
=(1/3)•(6√3/4)•(9√13/7)=27√39/7 кв. ед.