Задача 14912 Решите неравенство: 3log(x-2)(8-x)+1...
Условие
3log(x-2)(8-x)+1 меньше или равно (1/4)log^2_(x-2)(x^2-10x+16)^2
Решение
{8-x > 0;⇒ x < 8
{x-2 > 0;⇒x > 2
{x-2≠1;⇒x≠3
{(x^2-10x+16)^2 > 0:⇒ x^2-10x+16 ≠0⇒ x≠2; x≠8
x∈(2;3)U(3;8)
x^2-10x+16=(x-2)(x-8)
log_(x-2)(x^2-10x+16)^2=2log_(x-2)|x^2-10x+16|=
=2log_(x-2)|(x-2)*(x-8)|
log^2_(x-2)(x^2-10x+16)^2=
(2log_(x-2)|x^2-10x+16|)^2=4log^2_(x-2)|x^2-10x+16|
|x^2-10x+16|=|(x-2)(x-8)|=|x-2|*|x-8|
log^2_(x-2)|x^2-10x+16|=(log_(x-2)|x-2|+log_(x-2)|x-8|)^2
В условиях ОДЗ
х-2 > 0 значит |x-2|=x-2
x-8 < 0 значит |x-8|=8-x
Неравенство принимает вид:
3log_(x-2)(8-x)+1 ≤ (1+log_(x-2)(8-x))^2
или
3log_(x-2)(8-x)+1 ≤ 1+2log_(x-2)(8-x)+log^2_(x-2)(8-x)
log^2_(x-2)(8-x)-log_(x-2)(8-x)≥0
t^2-t≥0, где t=log_(x-2)(8-x)
t(t-1)≥0 ⇒ t ≤0 или t ≥1
log_(x-2)(8-x) ≤0 или log_(x-2)(8-x)≥1
log_(x-2)(8-x) ≤log_(x-2)1 или log_(x-2)(8-x)≥ log_(x-2)(x-2)
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(х-2-1)(8-х-1)≤0 или (x-2-1)(8-x-x+2)≥0
(х-3)(7-х)≤0 или (x-3)(10-2x)≥0
(-∞;3]U[7;+∞) или [3;5]
С учетом ОДЗ получаем ответ
(2;3)U(3;5]U[7;8)