Задача 14912 Решите неравенство: 3log(x-2)(8-x)+1...

slava191

4 октября 2017 г. в 00:00

Решите неравенство:
3log_x–2(8–x)+1 ≤ (1/4)log²_x–2(x²–10x+16)²

SOVA

4 октября 2017 г. в 00:00

★

ОДЗ:
{8–x > 0;⇒ x < 8
{x–2 > 0;⇒x > 2
{x–2≠1;⇒x≠3
{(x²–10x+16)² > 0:⇒ x²–10x+16 ≠0⇒ x≠2; x≠8
x∈(2;3)U(3;8)

x²–10x+16=(x–2)(x–8)

log_x–2(x²–10x+16)²=2log_x–2|x²–10x+16|=
=2log_x–2|(x–2)·(x–8)|

log²_x–2(x²–10x+16)²=
(2log_x–2|x²–10x+16|)²=4log²_x–2|x²–10x+16|

|x²–10x+16|=|(x–2)(x–8)|=|x–2|·|x–8|

log²_x–2|x²–10x+16|=(log_x–2|x–2|+log_x–2|x–8|)²

В условиях ОДЗ
х–2 > 0 значит |x–2|=x–2
x–8 < 0 значит |x–8|=8–x

Неравенство принимает вид:
3log_x–2(8–x)+1 ≤ (1+log_x–2(8–x))²
или
3log_x–2(8–x)+1 ≤ 1+2log_x–2(8–x)+log²_x–2(8–x)

log²_x–2(8–x)–log_x–2(8–x)≥0
t²–t≥0, где t=log_x–2(8–x)
t(t–1)≥0 ⇒ t ≤0 или t ≥1
log_x–2(8–x) ≤0 или log_x–2(8–x)≥1
log_x–2(8–x) ≤log_x–21 или log_x–2(8–x)≥ log_x–2(x–2)
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(х–2–1)(8–х–1)≤0 или (x–2–1)(8–x–x+2)≥0
(х–3)(7–х)≤0 или (x–3)(10–2x)≥0
(–∞;3]U[7;+∞) или [3;5]

С учетом ОДЗ получаем ответ
(2;3)U(3;5]U[7;8)