Задача 44286 а) Решите уравнение...

slava191

2020-02-15 17:52:28

а) Решите уравнение

log(3+2x-x^2)((sinx+sqrt(3)cosx)/(sin3x)) = 1/log2(3+2x-x^2)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [Pi/2; 5Pi/4]

sova

2020-02-15 18:28:23

★

[m]\frac{1}{log_{2}(3+2x-x^2)}=log_{3+2x-x^2}2[/m]


[m]\log_{3+2x-x^2}\frac{sinx+sqrt{3}cosx}{sin3x}=log_{3+2x-x^2}2[/m]

{3+2x-x^2>0
{3+2x-x^2 ≠ 1
{[m]\frac{sinx+\sqrt{3}cosx}{sin3x}=2[/m]
{sin3x ≠ 0

x^2-2x-3=0
D=4+12=16
x_(1)=-1; x_(2)=3

x^2-2x-2=0
D=4-4*(-2)=12
x_(3)=1-sqrt(3); x_(4)=1+sqrt(3)

_-_ (-1) __[red]+[/red]_ (1-sqrt(3)) _[red]+[/red]__ (1+sqrt(3)) _[red]+[/red]__ (3) _-_

[red]ОДЗ:[/red]
[red]x ∈ (-1;1-sqrt(3))U(1-sqrt(3);1+sqrt(3))U(1+sqrt(3);3)[/red]
x ≠ [m]\frac{π}{3}[/m]k, k ∈ Z

( cм. рис. 1)


[m]\frac{sinx+\sqrt{3}cosx}{sin3x}=2[/m] ⇒

[m]sinx+\sqrt{3}cosx=2sin3x[/m]

Делим на 2:

[m]\frac{1}{2}\cdot sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot cosx=sin3x[/m]

Применяем вспомогательный угол:

cos φ =[m]\frac{1}{2}[/m]
sin φ =[m]\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

[m]sin(x+\frac{\pi}{3})=sin3x[/m]

[m]sin(x+\frac{\pi}{3})-sin3x=0[/m]

[m]2 \cdot sin\frac{x+\frac{\pi}{3}-3x}{2}\cdot cos \frac{x+\frac{\pi}{3}+3x}{2}=0 [/m]

[m] - sin(x-\frac{\pi}{6}) \cdot cos (2x+\frac{\pi}{6})=0 [/m]


[m] sin(x-\frac{\pi}{6})=0[/m] ⇒ [m] x-\frac{\pi}{6}=\pi n,[/m]n ∈ Z


[m] x=\frac{\pi}{6}+\pi n,[/m]n ∈ Z

[m] cos (2x+\frac{\pi}{6})=0 [/m] ⇒[m] 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi m[/m], m ∈ Z
[m]2x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+\pi m[/m], m ∈ Z

[m]2x=\frac{\pi}{3}+\pi m[/m], m ∈ Z


[m]x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2} m[/m], m ∈ Z

[m]x=\frac{\pi}{6}[/m] - единственный корень принадлежащий ОДЗ

(cм. рис. 2)

б) нет корней принадлежащих указанному отрезку

О т в е т.

a)[m]x=\frac{\pi}{6}[/m]
б) нет корней принадлежащих указанному отрезку