Задача 44292 Найдите все значения параметра а, при...

slava191

2020-02-15 17:59:51

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

[m]\sqrt{3a+\sqrt{3a+2x-x^2}} = 2x-x^2[/m]

имеет решения.

sova

2020-02-16 02:30:05

★

[i]Замена переменной:[/i]
2x-x^2=t

Так как в этом иррациональном уравнении справа корень ( а он неотрицателен), то выражение справа тоже должно быть неотрицательным:
2x-x^2 ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 тогда [red] 0 ≤ t ≤ 1[/red]

Задача принимает вид:
Решить уравнение:

[b]sqrt(3a+sqrt(3a+t))=t[/b]

при [red]0 ≤ t ≤ 1[/red]

[i]Возводим в квадрат:[/i]
3a+sqrt(3a+t)=t^2 ⇒

sqrt(3a+t)=t^2-3a

[i]Возводим в квадрат:[/i]

{t^2-3a ≥ 0 ⇒ a ≤ [m]\frac{t^2}{3}[/m]
{3a+t=t^4-6at^2+9a^2

Решаем квадратное уравнение относительно а

9a^2-(6t^2+3)*a+t^4-t=0

D=(6t^2+3)^2-36*(t^4-t)=36t^4+36t^2+9-36t^4+36t=36t^2+36t+9=

=9*(2t+1)^2 ≥ 0 при любом t.

Значит уравнение имеет корни при любом t:

a_(1)=[m]\frac{6t^2+3-3*(2t+1)}{18}[/m]; a_(2)=[m]\frac{6t^2+3+3*(2t+1)}{18}[/m]

a_(1)=[m]\frac{t^2-t}{3}[/m] ; a_(2)=[m]\frac{t^2+t+1}{3}[/m]

Подставляем в первое неравенство системы:

[m]\frac{t^2-t}{3}[/m] ≤ [m]\frac{t^2}{3}[/m] верно, так как [red]0 ≤ t ≤ 1[/red]

При [red]0 ≤ t ≤ 1[/red]
a_(1) ∈ [-1/12;0]

[m]\frac{t^2+t+1}{3}[/m]≤ [m]\frac{t^2}{3}[/m] ⇒ неверно для [red]0 ≤ t ≤ 1[/red]


О т в е т. [b][-1/12;0] [/b]