Задача 52955 Дан тетраэдр ABCD. Известно что...

slava191

2 августа 2020 г. в 17:00

Дан тетраэдр ABCD. Известно что AB=BC=CD=5 и CA=AD=DB=6. Найдите косинус угла между рёбрами BC и AD

sova

3 августа 2020 г. в 09:10

★

В тетраэдре две пары равнобедренных треугольников
со сторонами 5;5;6 и 6;6;5

Проводим медианы МК и КР в треугольниках BDC и ADC.

МК || BC; MК=2,5
KP || AD; KP=3

∠ MKP – угол между скрещивающимися ребрами ВС и AD
найдем из треугольника МКР

Для этого найдем третью сторону этого треугольника МР.М

МР найдем из треугольника АМС.

Но сначала найдем медианы СМ и АМ в треугольниках СВD и АВD

CМ – медиана и высота равнобедренного треугольника АВD с основанием 6 и боковыми сторонами 5.

СМ=4

Для нахождения АМ применяем метод достраивания до параллелограмма
( или метод удваивания медианы)

Тогда по свойству сторон и диагоналей параллелограмма:

d²₁+d²₂=2(a²+b²)


(2AM)²+BD²=2(AB²+AD²) ⇒ (2AM)²+6²=2(5²+6²)

АМ=[m]\frac{\sqrt{86}}{2}[/m]


Для нахождения MP применяем метод достраивания до параллелограмма ( или метод удваивания медианы)


(2MP)²+AC²=2(AM²+CМ²) ⇒ (2MP)²+6²=2(([m]\frac{\sqrt{86}}{2}[/m])²+4²)

4MP²=39
MP=[m]\frac{\sqrt{39}}{2}[/m]

Из Δ МКР по теореме косинусов:

МР²=MK²+KP²–2·MK·KP·cos ∠MKP

[m]\frac{39}{4}=(\frac{5}{2})^2+3^2-2\cdot \frac{5}{2}\cdot 3 \cdot cos \angle MKP[/m]

cos ∠MKP= [m]\frac{11}{30}[/m]

О т в е т. [m]\frac{11}{30}[/m]