Задача 42829 Найти точки разрыва функции;изобразить...
Условие
Решение
x ≠ ± 2
При x ≠ ± 2 данная функция непрерывна как частное непрерывных функций.
Исследуем на непрерывность точку х=-2
Находим [red]предел слева[/red]:
lim_(x →-2-0)f(x)=1/((-2-0)^2-4)=+ ∞ , так как
положительное число в числителе делится на очень маленькое положительное в знаменателе.
Получим очень большое положительное (+ ∞ )
Находим [red]предел справа[/red]:
lim_(x →2+0)f(x)=1/((-2+0)^2-4)=- ∞
Функция имеет [i]бесконечный[/i] предел в точке ( хотя бы один или слева или справа, а здесь вообще оба)
Значит х=-2 - точка разрыва [i]второго [/i]рода
Аналогично
x=2- точка разрыва [i]второго [/i]рода
2)
На (- ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=sinx непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (0;1) функция непрерывна, так как y=2x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (1;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0 и х=1
х=0
Находим предел слева:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)sinx=0
Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)2x=0
предел слева = пределу справа и равен значению функции в точке x=0
х=0 - [i]точка непрерывности [/i]
x=1
Находим предел слева:
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x → 1-0)2x=2
Находим предел справа:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)x=1
предел слева ≠ пределу справа
Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=1
х=1 - [i]точка разрыва первого рода[/i]
