Задача 28024 ...

u3721151214

28.05.2018

Найдите все значения a,при каждом из которых уравнение 9a+√15+2x-x^2=ax+4 имеет ровно два решения

SOVA

28.05.2018

9a+√(15+2x–x^2)=ax+4;
перепишем в виде:
√(15+2x–x^2)=ax-9a+4;
√(15+2x–x^2)=a(x-9)+4;

Решаем графически:
y=sqrt(15+2x-x^2) - полуокружность
y^2=15+2x-x^2;
(x-1)^2+y^2=16
c центром в точке (1;0) и радиусом R=4
см. рис. 1

y=a*(x-9)+4 - семейство прямых, проходящих через точку (9;4)

Cм. рис. 2

Определим, при каких значениях угловых коэффициентов, прямые из семейства прямых y=a*(x-9)+4 имеют с полуокружностью две общие точки.
Как А и В, М и K на рисунке.

Из рисунка видно, что это - прямые, расположенные между
прямыми [b] AC[/b] и [b] CF[/b].
Угловой коэффициент прямой АС находим из прямоугольного треугольника АСD
tg альфа =CD/AD=4/12=1/3
Угловой коэффициент CF
равен 0 ( CF параллельна оси Ох)
прямая СF имеет с полуокружностью одну точку касания.
0 < a меньше или равно (1/3)
О т в е т. (0;1/3]