Задача 12747 Известно, что если сумма каких-либо трёх...

u466325056

08.01.2017

Известно, что если сумма каких-либо трёх натуральных чисел делится на n, то и сумма девятых степеней этих же чисел делится на n. Найдите наибольшее возможное натуральное значение n.

SOVA

08.01.2017

★

Дано: (a+b+c):n
Доказать (a^9+b^9+c^9):n

Доказательство.
Рассмотрим их разность
(a^9+b^9+c^9)-(a+b+c)=
=(a^9-a)+(b^9-b)+(c^9-c)

Достаточно показать, что
a^9-a кратно n
a^9-a=a(a^8-1)=a*(a^4-1)*(a^4+1)=
=a*(a-1)*(a+1)*(a^2+1)*(a^4+1)

Cумма трех последовательных множителей (а-1)*а*(а+1)
кратна 6.
Одно четное и одно кратно 3.

Кроме того, можно показать, что это произведение кратно 9 ( см. малую теорему Ферма. a^p-a кратно p при любом целом а и простом p)
Значит, a^9-a кратно 6*9=54
О т в е т. n=54