Задача 44668 Найдите решения параметра, при которых...

anion

1 марта 2020 г. в 19:48

Найдите решения параметра, при которых система не имеет больше 1 решения.
(x+2a)²+(y+3a+1)²=a+1
3x–4y=a–1

sova

1 марта 2020 г. в 19:55

★

Из второго уравнения выражаем y=(3x–a+1)/4 и подставляем в первое уравнение:

[m](x+2a)^2+(\frac{3x-a+1}{4}+3a+1)^2=a+1[/m]

[m](x+2a)^2+(\frac{3x+11a+5}{4})^2=a+1[/m]

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые:

[m]16x^2+64ax+64a^2+9x^2+121a^2+25+66ax+30x+110a=[/m]
[m]=16a+16[/m]

Получаем квадратное уравнение относительно x c параметром а:

[m]25x^2+(130a+30)x+185a^2+86a+9=0[/m]


Квадратное уравнение имеет не больше одного решения, значит дискриминант квадратного уравнения < 0 или равен 0.

[m]D=(130a+30)^2-4\cdot 25\cdot (185a^2+86a+9)=[/m]

[m]=100(13a+3)^2-100(185a^2+86a+9)=[/m]

[m]=100(169a^2+78a+9-185a^2-86a-9)=[/m]

[m]=100(-16a^2-8a)[/m]

[m]-16a^2-8a ≤ 0[/m]

[m]16a^2+8a ≥ 0[/m]

[m]8a(2a+1) ≥ 0[/m]

__+_ [[m]-\frac{1}{2}[/m]] ___ [0] _+__

О т в е т. (– ∞ ;[m]-\frac{1}{2}[/m]] U[0;+ ∞ )