Задача 28240 Найдите все значения a, при каждом из...

slava191

02.06.2018

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

system{x^4-y^4=12a-28;x^2+y^2=a}

имеет ровно четыре решения

SOVA

03.06.2018

x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)

Перепишем систему так:
{(x^2-y^2)*a=12a-48
{x^2+y^2=a
a ≠ 0, в противном случае второе уравнение вырождается в точку (0;0)

{x^2-y^2=12-(28/a)
{x^2+y^2=a

Складываем и вычитаем
{2x^2=a-(28/a)+12
{2y^2=a-12+(28/a)

{a-(28/a)+12 > 0⇒ a ∈ (-14;0) U(2;+бесконечность)
{a-12+(28/a) > 0 ⇒ а ∈(0;6-2sqrt(2)) Г(6+2sqrt(2);+ бесконечность )

О т в е т. (2; 6-2sqrt(2)) U(6+2sqrt(2);+ бесконечность )