Задача 34905 ...

vk130176809

2019-03-25 12:31:18

∫ sqrt((1-x)/(1+x))dx/x
Помогите решить.

sova

2019-03-25 13:06:44

Замена переменной
sqrt((1-x)/(1+x))=t ⇒ (1-x)/(1+x)=t^2 ⇒ x=(1-t^2)/(1+t^2)

dx=(-4tdt)/(t^2+1)^2

∫ 4t^2dt/(t^2+1)(t^2-1)=

интегрирование рациональных дробей

4t^2/(t^2+1)(t-1)(t+1)= A/(t-1)+B/(t+1) + (Mt+N)/(t^2+1)

4t^2=A*(t+1)*(t^2+1) +B*(t-1)*(t^2+1) +(Mt+N)*(t^2-1)

Можно применить способ приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях многочленов слева и справа

Можно применить метод частных частных значений.
Если функции равны, то и значения в одной и той же точке равны.

При

t=1
4=4A ⇒ [b] A=1[/b]
t=-1
4=-4B ⇒ [b] B =-1[/b]

t=0

0=A-B-N

[b]N=2[/b]

t=2
16=15A+5B+(2M+2)*3
[b]M=0[/b]

О т в е т. ∫ dt/(t-1)- ∫ dt/(t+1) +2 ∫ dt/(t^2+1)=

=ln|t-1|+ln|t+1)+2arcrgt + C, где t=sqrt((1-x)/(1+x))