Задача 32138 Найти точку А, симметричную точке B(2;...

dashokkkk

19 декабря 2018 г. в 16:55

Найти точку А, симметричную точке B(2; 1; 0) относительно прямой

{ x = 2
{ y+z+2 = 0

sova

19 декабря 2018 г. в 17:11

Проводим плоскость через точку В перпендикулярно прямой.
Это значит, что направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости.

Составляем уравнение прямой с направляющим вектором.

Находим две произвольные точки, принадлежащие этой прямой:

х=2
y=0
z=–2
M(2;0;–2)

x=2
y=–2
z=0
N(2;–2;0)

MN=n=(0;–2;2)


Составляем уравнение плоскости, проходящей через точкy
B(2;1;0) с нормальным вектором n=(0;–2;2)
0·(х–2) –2·(y–1)+2·(z–0)=0
–2y+2z+2=0
y–z–1=0

Параметрическое уравнение прямой:
(x–2)/(0)=y/(–2)=(z+2)/2=t
x=2
y=–2t
z=2t–2
подставляем в уравнение плоскости

–2t –2t+2–1=0
t=1/4

при t=1/4
x=2
y=–1/2
z=–3/2
M(2;–1/2;–3/2) – проекция точки В на прямую

По свойству симметричных точек,
ВМ=МВ₁

Поэтому
х_M=(x_В+x_В1)/2 ⇒(2+ x_A1)/2=2 ⇒ x_A1=2
y_M=(y_В+y_В1)/2 ⇒ y_A1=–2
z_M=(z_В+z_В1)/2 ⇒ z_A1=–3

О т в е т. В₁(2;–2;–3)