Задача 32138 Найти точку А, симметричную точке B(2;...

dashokkkk

2018-12-19 16:55:25

Найти точку А, симметричную точке B(2; 1; 0) относительно прямой

{ x = 2
{ y+z+2 = 0

sova

2018-12-19 17:11:52

Проводим плоскость через точку В перпендикулярно прямой.
Это значит, что направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости.

Составляем уравнение прямой с направляющим вектором.

Находим две произвольные точки, принадлежащие этой прямой:

х=2
y=0
z=-2
M(2;0;-2)

x=2
y=-2
z=0
N(2;-2;0)

vector{MN}=vector{n}=(0;-2;2)


Составляем уравнение плоскости, проходящей через точкy
B(2;1;0) с нормальным вектором vector{n}=(0;-2;2)
0*(х-2) -2*(y-1)+2*(z-0)=0
-2y+2z+2=0
y-z-1=0

Параметрическое уравнение прямой:
(x-2)/(0)=y/(-2)=(z+2)/2=t
x=2
y=-2t
z=2t-2
подставляем в уравнение плоскости

-2t -2t+2-1=0
t=1/4

при t=1/4
x=2
y=-1/2
z=-3/2
M(2;-1/2;-3/2) - проекция точки В на прямую

По свойству симметричных точек,
ВМ=МВ_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(В)+x_(В_(1)))/2 ⇒(2+ x_(A_(1)))/2=2 ⇒ x_(A_(1))=2
y_(M)=(y_(В)+y_(В_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=-2
z_(M)=(z_(В)+z_(В_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=-3

О т в е т. В_(1)(2;-2;-3)