Задача 44093 Найдите все значения параметра a, при...

slava191

8 февраля 2020 г. в 22:04

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

{ y=a(x–3)
{ 1/log_x2 + 1/log_y2 = 1

не имеет решений.

sova

9 февраля 2020 г. в 12:01

★

ОДЗ:
{x>0; x ≠ 1
{y>0; y ≠ 1

В условиях ОДЗ:

[m]\frac{1}{log_{x}2}=log_{2}x[/m]
[m]\frac{1}{log_{y}2}=log_{2}y[/m]

[m]log_{2}x+log_{2}y=log_{2}xy[/m]

Cистема принимает вид:
{y=a·(x–3)
{log₂xy=1

или

{y=a·(x–3)
{xy=2
{x>0; x ≠ 1
{y>0; y ≠ 1

Подставляем у из первого уравнения во второе:

x·a·(x–3)=2

ax²–3ax–2=0

При a =0 это уравнение не квадратное.
И оно не имеет решений.

При a ≠ 0

D=(–3a)²–4·a·(–2)=9a²+8a

Квадратное уравнение не имеет корней при
D <0

9a²+8a<0 ⇒

a·(9a+8) < 0 ⇒ a ∈ (–8/9; 0)

Осталось найти те значения параметра а, при которых x =1:

a·(1–2)=2
a=–1

О т в е т. {–1} U (–8/9;0]