Задача 44093 Найдите все значения параметра a, при...

slava191

2020-02-08 22:04:29

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

{ y=a(x-3)
{ 1/log(x)2 + 1/log(y)2 = 1

не имеет решений.

sova

2020-02-09 12:01:39

★

ОДЗ:
{x>0; x ≠ 1
{y>0; y ≠ 1

В условиях ОДЗ:

[m]\frac{1}{log_{x}2}=log_{2}x[/m]
[m]\frac{1}{log_{y}2}=log_{2}y[/m]

[m]log_{2}x+log_{2}y=log_{2}xy[/m]

Cистема принимает вид:
{y=a*(x-3)
{log_(2)xy=1

или

{y=a*(x-3)
{xy=2
{x>0; x ≠ 1
{y>0; y ≠ 1

Подставляем у из первого уравнения во второе:

x*a*(x-3)=2

ax^2-3ax-2=0

При a =0 это уравнение не квадратное.
И оно не имеет решений.

При a ≠ 0

D=(-3a)^2-4*a*(-2)=9a^2+8a

Квадратное уравнение не имеет корней при
D <0

9a^2+8a<0 ⇒

a*(9a+8) < 0 ⇒ a ∈ (-8/9; 0)

Осталось найти те значения параметра а, при которых x =1:

a*(1-2)=2
a=-1

О т в е т.[b] {-1} U (-8/9;0] [/b]