Задача 31043 Найти общее решение дифференциального...

alekseevadaria

2018-11-15 10:16:51

Найти общее решение дифференциального уравнения:

y''+4y'+4y=x-x^2

sova

2018-11-15 13:12:51

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью ( f(x)=x-x^2 - многочлен второго порядка)

Решаем однородное:
y``+4y`+4y=0
Характеристическое:
k^2+4k+4=0
k_(1)=k_(2)=-2
Общее решение по правилу ( см. вторую строку)
y_(общее однород.)=C_(1)e^(-2x) + C_(2)*[b]x*[/b]e^(-2x)

Частное решение ищем в виде подобном правой части f(x)
y_(част.)=ax^2+bx+c
y`_(част.)=2ax+b
y``_(част)=2а

Подставляем в данное уравнение:
2a+4*(2ax+b)+4*(ax^2+bx+c)=x-x^2

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной и свободные члены:
4а = - 1 ⇒ а=-1/4
8а+4b = 1 ⇒ 8*(-1/4) + 4b = 1 ⇒ b=3/4
2a+4b+4c=0 ⇒ -(1/2)+3+4c=0 ⇒ c=5/8

О т в е т. y=y_(общее одн.)+y_(част)=C_(1)e^(-2x) + C_(2)*[b]x*[/b]e^(-2x)- (1/4)x^2+(3/4)x+(5/8)