Задача 22416 9.3.126) Найти длину замкнутой кривой...
Условие
9y^2-x(x-3)^2=0
математика ВУЗ
2581
Решение
★
В силу симметрии относительно оси Ох вычислим половину длины дуги.
y=sqrt(x*(x-3)^2)/3
y`=(1/3)*(1/2sqrt(x*(x-3)^2))*(x*(x-3)^2)`
y`=(1/6)(x^3-6x^2+9x)`/sqrt(x*(x-3)^2)
y`=(1/6)*(3x^2-12x+9)/sqrt(x*(x-3)^2)
y`=(1/2)*(x^2-4x+3)/sqrt(x*(x-3)^2)
y`=(1/2)*(x-1)*(x-3)/sqrt(x*(x-3)^2)
1+(y`)^2= 1+((x-1)^2/4x)=(x+1)^2/4x
sqrt(1+(y`)^2)=(x+1)/(2sqrt(x))
(1/2)L= ∫ ^(3)_(0) dx=
= ∫ ^(3)_(0)(x+1)/(2sqrt(x))dx=
=(1/2) ∫ ^(3)_(0)(sqrt(x)+(1/sqrt(x)))dx=
=((1/2)*(2/3)sqrt(x^3) +sqrt(x))|^(3)_(0)=
=(1/3)*3sqrt(3)+sqrt(3)=2sqrt(3)
L=4sqrt(3)
