Задача 30016 а) Решите уравнение...

slava191

2018-10-06 18:19:52

а) Решите уравнение (ctgx-tgx)/(3sinx+cos2x) = ctg2x [л13]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3Pi/2; 0]

sova

2018-10-06 20:32:21

★

ОДЗ:
{cosx ≠ 0
{sinx ≠ 0
{3sinx+cos2x ≠ 0 ⇒ 2sin^2x-3sinx-1 ≠ 0

Так как
сtgx-tgx=(cosx)/(sinx) - (sinx)/(cosx) = (cos^2x -sin^2x)/sinx*cosx=

=cos2x/((1/2)*sin2x)=2ctg2x

Уравнение принимает вид
2ctg2x/(3sinx+cos2x)=ctg2x

ctg2x*((2/(3sinx+cos2x)) -1) = 0

1) cos2x=0
2x=(π/2)+πk, k ∈ Z
x=(π/4)+(π/2)k, k ∈ Z

или

2) (2/(3sinx+cos2x)) -1=0
Дробь равна 0, если числитель равен 0, а знаменатель нет.

{2-3sinx-cos2x=0
{3sinx+cos2x≠ 0 ⇒ 2sin^2x-3sinx-1 ≠ 0 ( см. третье условие ОДЗ)


2-3sinx-(1-2sin^2x)=0
2sin^2x-3sinx+1=0
D=9-8=1
sinx=1/2 или sinx =1

(При sinx=1/2 и sinx=1 знаменатель 2sin^2x-3sinx-1 отличен от 0)

х=(-1)^(n)(π/6)+πn, n ∈ Z или x=(π/2)+2πm, m ∈ Z ( не удовл. ОДЗ, так как при этих значениях сos x равен 0)

б) Указанному отрезку принадлежат корни ( см. рисунок)
-5π/4; -7π/6; -3π/4; -π/4.

О т в е т.
а) (π/4)+(π/2)k, k ∈ Z
(-1)^(n)(π/6)+πn, n ∈ Z
б)-5π/4; -7π/6; -3π/4; -π/4.