Задача 36644 Найти общее решение однородного ДУ 1-го...

arina222

2019-05-01 15:43:02

Найти общее решение однородного ДУ 1-го порядка: xy’=y+xe^(y/x)

sova

2019-05-01 17:12:08

★

Это однородное уравнение, решается методом замены переменной.
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u`; x`=1, так как x - независимая переменная.

Подставляем в уравнение

x*(u+xu`)=xu+x*e^(u)

x^2u`=x*e^(u)

xu`=e^(u)

u`=du/dx

x*du=e^(u)dx - уравнение с разделяющимися переменными.

du/e^(u)=dx/x

∫ e^(-u)du= ∫ dx/x

-∫ e^(-u)d(-u)= ∫ dx/x

-e^(-u)=lnx+lnC

-e^(-u)=lnCx

e^(-u)+lnCx=0

[b]e^(-y/x)+lnCx=0[/b] - общее решение