Задача 45746 Окружность касается сторон угла с...

slava191

1 апреля 2020 г. в 12:41

Окружность касается сторон угла с вершиной О в точках А и В. На этой окружности внутри треугольника АОВ взята точка С. Расстояния от точки С до прямых АО и ВО равны соответственно 8 и 18.

а) Докажите, что углы АВС и САО равны.

б) Найдите расстояние от точки С до прямой AB. [16п15]

sova

1 апреля 2020 г. в 14:39

★

Стороны угла – касательные к окружности.
По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки:
АО=ОВ
Обозначим центр окружности Р.
Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то РА ⊥ OA и PB ⊥ OB
и
ОР– биссектриса угла О

∠ САО – угол между касательной и хордой, измеряется половиной дуги АС, заключенной между ними.
∠ АВС – вписанный угол, измеряется половиной дуги АВ, на которую он опирается.

∠ САО=∠ АВС

б)
Проводим СD ⊥ AB
Δ АКС~ Δ CDB
ΔACD~ ΔOCM

CD=√CK·CM=√8·18=12