Задача 33871 ...

vk520651741

24 февраля 2019 г. в 22:37

(log_x 2– 1) · log₂ (2x) ≤ 3/2

sova

24 февраля 2019 г. в 22:45

ОДЗ:
{x>0
{x ≠1

(log₂(2x)=log₂2+log₂x=1+log₂x;
log_x2=1/log₂x

log₂x=t

((1/t)–1)·(t+1) ≤ 3/2

(1–t)(t+1)/t – (3/2) ≤ 0

(2– 2t² –3t)/(t) ≤ 0

Умножаем на (–1)
(2t²+3t–2)/t ≥ 0

Применяем метод интервалов.
Находим нули числителя:
2t²+3t–2=0
D=9–4·2·(–2)=25
t₁=(–3–5)/4=–2; t₂=(–3+5)/4=1/2;

__–__ [–2] _+__ (0) _–__ [1/2] __+__

–2 ≤ t < 0 или t ≥ 1/2

Обратный переход

–2 ≤ log₂x < 0 или log₂x ≥ 1/2
log₂(1/4) ≤ log₂x < log₂1 или log₂x ≥ log₂√2

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает,большему значению функции соответствует большее значение аргумента
1/4 ≤ x < 1 или х ≥ √2

Найденные решения входят в ОДЗ
О т в е т. [1/4; 1) U [√2;+ ∞ )