Задача 34330 2. Найдите значение переменной x: ...
Условие
[m]\lg x = \frac{1}{2} \lg 3 + \lg 5 - \frac{1}{3} \lg 4[/m]
4. Решите неравенства:
b) [m]\log_2 \frac{x - 5}{x - 4} < 1[/m]
Решение
На свойства логарифмов.
Сумму логарифмов можно заменить логарифмом произведения.
Множитель перед логарифмом убрать в показатель степени числа под логарифмом.
log_(a)b+log_(a)c=log_(a)bc
k*log_(a)b=log_(a)b^(k)
a>0; b>0; с>0; a ≠ 1
(1/2)lg3+lg5-(1/3)lg4=lg(3^(1/2))+lg5+lg4^(-1/3)=
=lgsqrt(3)+lg5+lg(1/∛4)=lg(5*sqrt(3)/∛4)
lgx=lg(5*sqrt(3)/∛4)
Логарифмическая функция с основанием 10 монотонно возрастает.
Каждое свое значение принимает ровно в одной точке
Если значения функции равны, то и аргументы равны.
x=5*sqrt(3)/∛4
4б)
ОДЗ:
(x-5)/(x-4) > 0
1=log_(2)2
Поэтому получаем неравенство:
log_(2) (x-5)/(x-4) < log_(2)2
Логарифмическая функция с основанием 2 монотонно возрастает.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
(x-5)/(x-4) < 2;
Система:
{(x-5)/(x-4) > 0
{(x-5)/(x-4) < 2 ⇒ (x-5-2x+8)/(x-4) < 0 ⇒ (x-3)/(x-4) >0
если x-4>0, то (х-5)>0 ; (x-3) > 0 больше большего
ответ (5;+ ∞)
если (x-4)<0 то (х-5)<0 ; (x-3) < 0
меньше меньшего
ответ (- ∞; 3)
(- ∞;3) U (5;+ ∞ )- о т в е т.