Задача 30482 ...

studentrus

2018-10-24 00:04:41

Найти наибольший член разложения бинома (3,5 + √11)^10

sova

2018-10-24 12:01:24

В разложении (10+1)=11 слагаемых

k-ый член бинома ( k+1-е слагаемое ) имеет вид

T_(k)=C^(k)_(10)*(3,5)^(k)*(sqrt(11))^(10-k)

Согласно условия задачи: T_(k) - наибольший член разложения.
Значит должны выполняться условия:
T_(k) > T_(k-1)
и
T_(k) > T_(k+1)

{C^(k)_(10)*(3,5)^(k)*(sqrt(11))^(10-k) >C^(k-1)_(10)*(3,5)^(k-1)*(sqrt(11))^(10-k+1)
{C^(k)_(10)*(3,5)^(k)*(sqrt(11))^(10-k) >C^(k+1)_(10)*(3,5)^(k+1)*(sqrt(11))^(10-k-1)

{(10!/(k!*(10-k)!))*(3,5)^k*(sqrt(11))^(10-k) > (10!/((k-1)!*(10-k+1)!))*(3,5)^(k-1)*(sqrt(11))^(10-k+1)
делим обе части равенства на 10!*(3,5)^(k-1)*sqrt(11)^(10-k)/((k-1)!*(10-k)!)
{(10!/(k!*(10-k)!))*(3,5)^k*(sqrt(11))^(10-k) > (10!/((k+1)!*(10-k-1)!))*(3,5)^(k+1)*(sqrt(11))^(10-k-1)
делим обе части равенства на 10!*(3,5)^(k)*sqrt(11)^(10-k-1)/(k!*(10-k-1)!)
{7/(2k) > 2(sqrt(5)/(7*(10-k+1)) ⇒ k < 77/(7+2sqrt(11))
{sqrt(11)/(10-k) > 7/(2k+2)⇒ k> (70-2sqrt(11))/(7+2sqrt(11))

(70-2sqrt(11))/(2sqrt(11)+7)< k< 77/(2sqrt(11)+7)

умножаем дроби слева и справа на (7- 2sqrt(11)) и числитель и знаменатель и получаем неравенство для k

(70-2sqrt(11))(7-2sqrt(11)/(7^2-(2sqrt(11))^2)< k< 77*(7-2sqrt(11))/(7^2-
(2sqrt(11))^2)

(534 - 154sqrt(11))/5 < k < (539-154sqrt(11)/5

k=5

О т в е т. C^(5)_(10)*(3,5)^5*(sqrt(11))^(5)=16014970,1*sqrt(11)