Задача 33544 Решить неравенство...

vk177899689

13 февраля 2019 г. в 14:27

Решить неравенство log₂(2^x–1)·log_1/2(2^x+1–2) > –2

sova

13 февраля 2019 г. в 14:35

ОДЗ: 2^x–1 > 0
2^x> 1
2^x> 2⁰
x>0

ОДЗ: х > 0

Применяем свойства логарифмов:
log_1/2(2^x+1–2)=log_1/22·(2^x–1)= логарифм произведения
= log_1/22+log_1/2(2^x–1) =
формула перехода к другому основанию ( к основанию 2)

= – 1 – log₂(2^x–1)

log_2^x–1·(–1–log₂(2^x–1) > –2

Квадратное неравенство
log₂(2^x–1)=t

t·(–1–t)>–2
t·(t+1) < 2

t²+t–2 <0
D=9
t₁=(–1–3)/2=–2; t₂=(–1+3)/2=1
–2 < t < 1

Значит

–2 < log₂ (2^x–1) < 1

log₂(1/4) < log₂ (2^x–1) < log₂2

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

(1/4) < 2^x–1< 2

(1/4)+1 < 2^x < 3

2^log₂(5/4) < 2^x < 2 ^{log₂ 3}

log₂(5/4) x< x < log₂3
О т в е т. (log₂(5/4);log₂3)