Задача 20887 Найдите количество точек экстремума...

slava191

12 декабря 2017 г. в 00:00

Найдите количество точек экстремума функции f(x), определённой на промежутке [0; +∞), если производная функции имеет вид:
y'=((x–1)/(x–3))·(e^x–1–1)

SOVA

12 декабря 2017 г. в 00:00

★

y`=0
((x–1)/(x–3))·(e^x–1–1)=0
x–1=0 или e^x–1–1=0 ⇒ e^x–1=1 ⇒ e^x–1=e⁰ ⇒ x–1=0
x=1 – точка возможного экстремума, в которой производная обращается в 0
и
х=3 – точка возможного экстремума, в которой производная не существует.
Применяем достаточное условие экстремума.
Проверяем знак производной:

При х=10 y`=(9/7)·(e<sup>9</sup>–1) > 0
При х=2 y`=(1/(–1))·(e–1) < 0
При х=1/2 y`=(–1/2)/(–5/2)·(e^–1/2–1)=(1/5)·((1/√e)–1) < 0
[0] __–_ (1) ____–_____ (3) ___+____

x=3 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
х=1 не является точкой экстремума.

О т в е т. Одна точка х=3