Задача 20887 Найдите количество точек экстремума...

slava191

12.12.2017

Найдите количество точек экстремума функции f(x), определённой на промежутке [0; +бесконечность), если производная функции имеет вид:
y'=((x-1)/(x-3))*(e^(x-1)-1)

SOVA

12.12.2017

★

y`=0
((x-1)/(x-3))*(e^(x-1)-1)=0
x-1=0 или e^(x-1)-1=0 ⇒ e^(x-1)=1 ⇒ e^(x-1)=e^0 ⇒ x-1=0
x=1 - точка возможного экстремума, в которой производная обращается в 0
и
х=3 - точка возможного экстремума, в которой производная не существует.
Применяем достаточное условие экстремума.
Проверяем знак производной:

При х=10 y`=(9/7)*(e^9-1) > 0
При х=2 y`=(1/(-1))*(e-1) < 0
При х=1/2 y`=(-1/2)/(-5/2)*(e^(-1/2)-1)=(1/5)*((1/sqrt(e))-1) < 0
[0] __-_ (1) ____-_____ (3) ___+____

x=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=1 не является точкой экстремума.

О т в е т. Одна точка х=3