Задача 11300 В правильной пирамиде PABC точки Е, F,...

slava191

11 июня 2016 г. в 00:00

В правильной пирамиде PABC точки Е, F, K, M, N – середины ребер АС, ВС, РА, РВ и РС соответственно.

А) Докажите, что объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.

Б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки N, Е, F, M, K, если известно, что АВ=8, АР=6.

SOVA

11 августа 2016 г. в 00:00

★

Пирамида РАВС – правильная, Δ АВС – равносторонний, высота пирамиды проектируется в точку О –центр окружности, описанной около треугольника АВС.
Пусть АВ=ВС=АС=а; РА=РВ=РС=b.
Тогда АО=ОВ=ОС=a·√3/3 и по теореме Пифагора
PO²=b²–(a·√3/3)²=b²–(a²/3)=(3b²–a²)/3
PO=√3b²–a²/√3
V(PABC)=(1/3)·S(Δ ABC)·PO=
=(1/3)·(a²√3/4)· √3b²–a²/√3=
=a²·√3b²–a²/12

Проводим MK||AB и FE || AB – средние линии треугольника АРВ и АВС.
МК=FE=a/2

Проводим KE||PC и MF || PC – средние линии треугольника АРC и BPC.
КE=MF=b/2

Так как СТ – высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника, СТ⊥АВ и OC – проекция PС, то по теореме о трех перпендикулярах РС⊥АВ
Значит и прямые параллельные РС перпендикулярны АВ.

KE⊥МК и MF⊥МК

ЕFМК – прямоугольник со сторонами (а/2) и (b/2).
Пирамида NEFMK ( см. рис. 2), ребра которой NE=NK=a/2
NF=NM=b/2
Равные наклонные имеют равные проекции, поэтому
ED=DK и FD=MD , точка D принадлежит оси симметрии прямоугольника QL:
EQ=QK=b/4
D– основание высоты ND.
Пусть QD=x, тогда DL=(a/2)–x
Из прямоугольного треугольника EDN:
ED²=(b/4)²+x²
Из прямоугольного треугольника NDF:
DF²=(b/4)²+((a/2)–x)²
ND²=NE²–ED² и ND²=NF²–DF².
Приравниваем правые части и находим QD:
QD=(2a²–b²)/4a.
Тогда
ND²=(3a²b²–b⁴)/16a²
ND=b·√3a²–b²/4a
v(NEFMK)=(1/3)·S(EKMF)·ND=(ab/12)·(b·√3a²–b²/4a)=b²·√3a²–b²/48
Не совсем так как надо.
Должно получиться (1/4)·(a²·√3b²–a²/12)=
=a²·√3b²–a²/48.