Задача 12627 Мистер Фокс загадал натуральное число....

veron01101

28 декабря 2016 г.

Мистер Фокс загадал натуральное число. Лёша возвел число Фокса в квадрат, а Боря возвел число Фокса в куб. Мистер Форд посчитал суммарное число цифр у чисел, которые получили Лёша и Боря. Какой результат мог получить Форд?

SOVA

1 октября 2017 г. в 00:00

★

Пусть мистер Фокс задумал (m+1)–значное число N, т.е.
10^m ≤ N < 10^m+1.
Возводим неравенство в квадрат
10^2m ≤ N² < 10^2m+2
Значит в числе N² количество десятичных знаков от 2m+1 до 2m+2 десятичных знака.
Возводим неравенство для числа N в куб.
10^3m ≤ N³ < 10^3m+3.
Количество десятичных знаков в числе N³ от 3m+1 до 3m+3.

Складываем
10^2m+10^3m≤ N² + N³ < 10^2m+2+10^3m+3
Значит в сумме квадрата числа N и куба числа N
от (2m+1)+(3m+1)= 5m+2 до (2m+2)+(3m+3)=5m+5
десятичных знаков.
Значит, остатки от деления суммарного числа цифр на 5 равны 2;3;4 и 0.
Для ответа на вопрос задачи предложенные числа надо разделить на 5 и посмотреть на остатки. Подходят те, которые дают остатки 2;3;4 или 0.