Задача 47536 Провести полное исследование указанной...

vk557167629

2020-04-18 16:50:56

Провести полное исследование указанной функции и построить график:

sova

2020-04-18 20:45:32

★

Область определения (- ∞ ;0) U (0;2) U(2;+ ∞ )

Прямые x=0 и х=2 - вертикальные асимптоты

lim_(x → -0)[m]\frac{x^2-x-1}{x^2-2x}=- ∞ [/m]

lim_(x → +0)[m]\frac{x^2-x-1}{x^2-2x}=+∞ [/m]

lim_(x → 2-0)[m]\frac{x^2-x-1}{x^2-2x}=- ∞ [/m]

lim_(x → 2+0)[m]\frac{x^2-x-1}{x^2-2x}=+∞ [/m]

y=1 - горизонтальная асимптота, так как

lim_(x → ∞ )[m]\frac{x^2-x-1}{x^2-2x}=1 [/m]

наклонных асимптот нет, так
lim_(x → ∞ )[m]\frac{f(x)}{x} [/m]=lim_(x → ∞ )[m]\frac{x^2-x-1}{x^2-2x}=0 [/m]

Точки пересечения с осью Ох:
y=0 ⇒ x^2-x-1=0 Решаем кв уравнение и находим точки

Исследование с помощью первой производной:


y`= [m]\frac{(x^2-x-1)`\cdot (x^2-2x)-(x^2-x-1)\cdot (x^2-2x)`}{(x^2-2x)^2}[/m]

y`= [m]\frac{(2x-1)\cdot (x^2-2x)-(x^2-x-1)\cdot (2x-2)}{(x^2-2x)^2}[/m]

y`=[m]\frac{-x^2+2x-2}{(x^2-2x)^2}[/m]

y`<0

при любом х ∈(- ∞ ;0) U (0;2) U(2;+ ∞ ) , так как
-x^2+2x-2 <0 при любом х ∈ (- ∞ ;0) U (0;2) U(2;+ ∞ ) (D<0)
(x^2-2x) > 0 при любом х ∈ (- ∞ ;0) U (0;2) U(2;+ ∞ )

Функция убывает на (- ∞ ;0) и на (0;2) и на (2;+ ∞ )

Экстремумов нет