Задача 27130 Найти общее решение дифференциального...
Условие
математика ВУЗ
513
Решение
★
y``+y=0
Составляем характеристическое уравнение
k^2+1=0
k= ± i
альфа=0;
бета =1
Общее решение однородного уравнения
имеет вид
y_(однород.)=e^(0x)*(C_(1)cosx+C_(2)sinx)
y_(однород.)=C_(1)cosx+C_(2)sinx
Представим правую часть неоднородного уравнения
y``+y=sinx
в виде
sin2x = e^(0x)*(0*cos2x+1*sin2x)
альфа=0
бета=2
z=0+2i
0+2i
Частное решение ищем в виде
y_(част) = Asin2x + Bcos2x
y`_(част) = 2A*cos2x + 2B*(-sin2x)
y``_(част) = - 4A*sin2x - 4Bcos2x
Подставляем в данное уравнение
- 4A*sin2x - 4Bcos2x+ Asin2x + Bcos2x = sin2x
-3Asin2x-3Bcos2x=sin2x
-3A=1
-3B=0
A=-1/3
О т в е т. y=y_(однород)+у_(част)=
=C_(1)cosx+C_(2)sinx -(1/3)sin2x