Задача 32373 log(x-1)(-x^2+8x-7) +...

log543

24 декабря 2018 г. в 10:21

log_x–1(–x²+8x–7) + (1/16)log_x–1(x–7)² >= 2

sova

24 декабря 2018 г. в 11:36

ОДЗ:
{–x²+8x–7 >0 ⇒ x²–8x+7 < 0; D=36; корни 1 и 7 ⇒ 1 < x < 7
{(x–7)² > 0 ⇒ x ≠ 7
{x–1>0; x–1 ≠ 1 ⇒ x> 1, x ≠ 2
ОДЗ: x ∈ (1;2) U(2;7)

Умножаем на 16
Неравенство принимает вид:

16 log_x–1 (–x²+8x–7) + log_x–1(x–7)² ≥ 32

По свойству логарифма степени

16 log_x–1 (–x²+8x–7)=log_x–1(–x²+8x–7)¹⁶

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_x–1 (–x²+8x–7)¹⁶·(x–7)² ≥32

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

(х–1–1)·((–x²+8x–7)¹6·(x–7)² –(x–1)³2) ≥ 0

–x²+8x–7=(1–x)·(x–7)
–x²+8x–7)¹6=(1–x)¹6·(x–7)¹6

(x–1)³²=(1–x)³2


(x–2)·(1–x)¹6·((x–7)¹⁸–(1–x)¹⁶) ≥ 0


Метод интервалов:
x–2=0 ⇒ x=2
1–x=0 ⇒ x=1
(x–7)¹⁸ = (1–x)¹6 ⇒(7–x)¹⁸=(x–1)¹⁶
По формуле разности квадратов:

(7–x)¹⁸ – (x–1)¹⁶=((7–x)⁹ –(x–1)⁸)·((7–x)⁹ +(x–1)⁸)
((7–x)⁹ –(x–1)⁸)·((7–x)⁹ +(x–1)⁸)=0

(7–x)⁹ –(x–1)⁸=0

Уравнение имеет корень на (4;5)


(1) ___ (2) ____?___ (7)

Уточняйте условие задачи.
При переписывании бывают пропуски..., опечатки и т.д
Задача может быть совсем другой, не вижу смысла решать нерешаемую