2^(x-2)*(2^(x+1-x+2)+5*1)=104
2^(x-2)*(8+5)=104
2^(x-2)=8
2^(x-2)=2^3
x-2=3
[b]x=5[/b]
2.
Умножаем на 3^(x) обе части уравнения:
3*3^(2x)-2*3=7*3^(x)
3^(x)=t
t>0
Квадратное уравнение
3t^2 - 7t - 6 = 0
D=(-7)^2-4*3*(-6)=49+72=121
t=(7 ± 11)/6
t_(1)=3; t^2<0
3^(x)=3
[b]x=1[/b]
3.
Замена переменной:
64^(x)=u, u >0
64^(y)=v, v > 0
64^(x+y)=64^(x)*64^(y)=u*v
64^(2x)=(64^(x))^2=u^2
64^(2y)=(64^(y))^2=v^2
{u^2+v^2=12
{u*v=4sqrt(2) ⇒ v=4sqrt(2)/u
и подставляем в первое уравнение:
u^2+(32/u^2)=12 ( умножаем на u^2>0)
u^4-12u^2+32=0
D=144-4*32=144-128=16
u^2=(12 ± 4)/2
u^2=4 или u^2=8
u_(1)=2, u_(3)=-2 <0 не удовл условию, см замена переменной
v_(1)=2sqrt(2)
u^2=8 ⇒
u_(2)=2sqrt(2), v_(4)=-2sqrt(2)
v_(2)=2
Cм рис. графическое решение системы.
Графиком уравнения u^2+v^2=12 является [i]окружность[/i] с центром (0;0)
радиусом sqrt(12)
графиком уравнения u*v=4sqrt(2) является[i] гипербола[/i] в 1 и 3 четверти.
Значит возможны 4 точки пересечения окружности и гиперболы в 1-й и 3-ей четвертях
Но в третьей четверти, координаты точек пересечения[i] отрицательны [/i]
Умение решать задачу не с завязанными глазами, а представляя
откуда и как получатся 2 решения или 4 решения пригодится в дальнейшем при[red] решении задач с параметрами.[/red]
Обратный переход
{64^(x)=2
{64^(y)=2sqrt(2)
2^(6x)=2 ⇒ 6x=1 ⇒ [blue]x=1/6[/blue]
2^(6y)=2^(1,5) ⇒ 6y=1,5 ⇒ [blue]y=1/4[/blue]
{64^(x)=2sqrt(2)
{64^(y)=2
2^(6x)=2^(1,5) ⇒ 6x=1,5 ⇒[red] x=1/4[/red]
2^(6y)=2 ⇒ 6y=1 ⇒[red] y=1/6[/red]
О т в е т. (1/6; 1/4); (1/4;1/6)