Задача 51595 В правильной четырехугольной пирамиде...

azot

2020-05-26 09:31:39

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ABG и CDF, где F–середина ребра SB, G–середина ребра SC. [b](желательно через вектора)[/b]

sova

2020-05-26 10:35:33

★

Решение векторно-координатным методом.

Вводим систему координат, как показано на рисунке.

Высота пирамиды
SO^2=SA^2-АО^2=1^2-(sqrt(2)/2)^2=1/2

h=SO=sqrt(2)/2

Точки G и F - cередины отрезков.

Находим их координаты как координаты середины


Составляем уравнения плоскостей

ABG:


[m]\begin{vmatrix} x-\frac{1}{2} &y+\frac{1}{2} &z \\ 0&1 &0 \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} &-\frac{\sqrt{2}}{4} \end{vmatrix}=0[/m]

⇒ sqrt(2)x+3z-sqrt(2)=0 ⇒

vector{n_(ABG)}=(sqrt(2);3)


CDF:


Угол между плоскостями - угол между их [i]нормальными[/i] векторами