u=(x^2-2x-a^2+4a-3)
Уравнение принимает вид:
sqrt(1-u^5)+sqrt(1+u^5)=2
Возводим в квадрат
1-u^5+2*sqrt(1-u^5)*sqrt(1+u^5)+1+u^5=4
2*sqrt(1-u^5)*sqrt(1+u^5)=2
sqrt(1-u^5)*sqrt(1+u^5)=1
Возводим в квадрат:
(1-u^5)(1+u^5)=1
1-u^(10)=1
u^(10)=0 ⇒
u=0
Обратный переход:
x^2-2x-a^2+4a-3=0
Выделяем полный квадрат
(x^2-2x+1)-(a^2-4a+4)=0
(x-1)^2-(a-2)^2=0
(x-1)^2=(a-2)^2
|x-1|=|a-2|
x-1=a-2 или x-1=-a+2
x=a-1 или x=-a+3
Один корень положительный, второй неположительный.
И наоборот. Две системы:
[m]\left\{\begin{matrix} a-1 >0\\-a+3 \leq0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} a-1 \leq 0\\-a+3 >0 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix} a >1\\-a \leq -3 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} a \leq 0\\-a >-3 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix} a >1\\a\geq 3 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} a \leq1\\a < 3 \end{matrix}\right.[/m]
При x^2-2x-a^2+4a-3=0
sqrt(1)+sqrt(1)=0 - верно, значит
x^2-2x-(a^2-4a+3)=0
D=4+4*(a^2-4a+3)=4a^2-16a+16=4*(a^2-4a+4)=4*(a-2)^2
Если D=0, т.е при a=2
уравнение имеет один корень
x=2/2=1>0
О т в е т. a ∈ (- ∞ ; 1] U {2}U[3;+ ∞ )