Задача 26616 4.1.80) Написать уравнение кривой, сумма...

slava191

22.04.2018

4.1.80) Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точ­ки которой до точек F1(-2; 0) и F2(2; 0) равна 2sqrt(5)

SOVA

22.04.2018

★

Пусть M(x;y) - произвольная точка кривой.
F_(1)M=sqrt((x-(-2))^2+(y-0)^2)=sqrt((x+2)^2+y^2);
F_(2)M=sqrt((x-2)^2+(y-0)^2)=sqrt((x-2)^2+y^2);
По условию
F_(1)M+F_(2)M=2sqrt(5)

sqrt((x+2)^2+y^2)+sqrt((x-2)^2+y^2)=2sqrt(5);

sqrt((x+2)^2+y^2)=2sqrt(5) - sqrt((x-2)^2+y^2)

Возводим в квадрат.

(x+2)^2+y^2=20-2sqrt((x-2)^2+y^2)+(x-2)^2+y^2

x^2+4x+4+y^2=20-2*2sqrt(5)sqrt((x-2)^2+y^2)+x^2-4x+4+y^2
4sqrt(5)*sqrt((x-2)^2+y^2)=20-8x;
sqrt(5)*sqrt((x-2)^2+y^2)=5-2x
Возводим в квадрат
5*((x-2)^2+y^2)=25 - 20x+4x^2
5x^2- 20x+20+y^2=25 - 20x + 4x^2
x^2 +5 y^2=5
(x^2/5)+y^2=1 - уравнение эллипса
с полуосями a=sqrt(5) и b=1

О т в е т. (x^2/5)+y^2=1