Задача 52467 Помогите решить неравенство...
Условие
Решение
log_(2)x=t
[m]\frac{|t^2-2t-6|-|t^2-6|}{\sqrt{6-t-t^2} }≥ 0[/m] [green](#)[/green]
[red]ОДЗ:[/red]
6-t-t^2>0 ⇒ t^2+t-6 <0
D=25
[red]-3 < t < 2[/red]
При -3 < t < 2
sqrt(6-t-t^2) >0
поэтому остается решить неравенство:
|t^2-2t-6|-|t^2-6| ≥ 0
Неравенство решаем методом интервалов:
t^2-2t-6=0 ⇒ D=28; t=1 ± sqrt(7) ⇒[blue] t^2-2t-6 <0 на (1-sqrt(7);1+sqrt(7))
[/blue]
t^2-6=0 ⇒ t= ± sqrt(6) ⇒[blue] t^2-6 <0 на (-sqrt(6);sqrt(6))[/blue]
ОДЗ принадлежат t=-sqrt(6) и t=1-sqrt(7)
и разбивают ОДЗ на три промежутка:
(-3) ____ (-sqrt(6)) ____ (1-sqrt(7)) _____ (2)
Раскрываем модули на каждом промежутке
На промежутке (-3;-sqrt(6)]:
|t^2-2t-6|=t^2-2t-6;|t^2-6|=t^2-6
неравенство принимает вид:
t^2-2t-6-t^2+6 ≥ 0
2t ≥ 0
t ≤ 0
⇒ [b]x ∈ (-3;-sqrt(6)][/b]
На промежутке (-sqrt(6);1-sqrt(7)]:
|t^2-2t-6|=t^2-2t-6;|t^2-6|=-t^2+6
неравенство принимает вид:
t^2-2t-6+t^2-6 ≥ 0
2t^2-2t-12 ≥ 0
t^2-t-6 ≥ 0
D=25 корни 3 и (-2)
Решение неравенства:
t ≤ -2; t ≥ 3
⇒ [b]x ∈ (-sqrt(6);-2][/b]
На промежутке (1-sqrt(7);2)
|t^2-2t-6|=-t^2+2t+6;|t^2-6|=-t^2+6
неравенство принимает вид:
-t^2+2t+6+t^2-6 ≥ 0
2t ≥ 0
t ≥ 0
Решение неравенства:
0 ≤ t <2
⇒ [b]x ∈ [0;2)[/b]
Решением неравенства [green](#)[/green] является объединение полученных решений:
(-3;-sqrt(6)]U (-sqrt(6);-2] U [0;2)=(-3;-2] U[0;2)
Обратный переход:
-3 < log_(2)x ≤ -2 или 0 ≤ log_(2)x < 2 ⇒
log_(2)2^(-3)<log_(2)x ≤ log_(2)2^(-2) или log_(2)1 ≤ log_(2)x <log_(2)2^2
Логарифмическая функция с основанием 2 > 1 возрастающая, поэтому:
2^(-3)<x ≤ 2^(-2) или 1 ≤ x <2^2
[m]\frac{1}{8}[/m] < x ≤ [m]\frac{1}{4}[/m] или 1 ≤ x <4
О т в е т.( [m]\frac{1}{8}[/m]; [m]\frac{1}{4}[/m] ] U [ 1 ;4)