Задача 52467 Решить неравенство [m]| \frac{\log_2^2...

ladykaramel

15 июня 2020 г. в 19:20

Решить неравенство

[m]| \frac{\log_2^2 x - 2 \log_2 x - 6 | - | \log_2^2 x - 6 |}{\sqrt{6 - \log_2 x - \log_2^2 x}} \geq 0[/m]

sova

15 июня 2020 г. в 21:04

★

Замена переменной:
log₂x=t

[m]\frac{|t^2-2t-6|-|t^2-6|}{\sqrt{6-t-t^2} }≥ 0[/m] (#)

ОДЗ:
6–t–t²>0 ⇒ t²+t–6 <0
D=25
–3 < t < 2

При –3 < t < 2
√6–t–t² >0

поэтому остается решить неравенство:
|t²–2t–6|–|t²–6| ≥ 0

Неравенство решаем методом интервалов:

t²–2t–6=0 ⇒ D=28; t=1 ± √7 ⇒ t²–2t–6 <0 на (1–√7;1+√7)

t²–6=0 ⇒ t= ± √6 ⇒ t²–6 <0 на (–√6;√6)

ОДЗ принадлежат t=–√6 и t=1–√7
и разбивают ОДЗ на три промежутка:

(–3) ____ (–√6) ____ (1–√7) _____ (2)

Раскрываем модули на каждом промежутке

На промежутке (–3;–√6]:
|t²–2t–6|=t²–2t–6;|t²–6|=t²–6
неравенство принимает вид:
t²–2t–6–t²+6 ≥ 0
2t ≥ 0
t ≤ 0

⇒ x ∈ (–3;–√6]

На промежутке (–√6;1–√7]:
|t²–2t–6|=t²–2t–6;|t²–6|=–t²+6

неравенство принимает вид:
t²–2t–6+t²–6 ≥ 0
2t²–2t–12 ≥ 0
t²–t–6 ≥ 0
D=25 корни 3 и (–2)
Решение неравенства:
t ≤ –2; t ≥ 3

⇒ x ∈ (–√6;–2]

На промежутке (1–√7;2)
|t²–2t–6|=–t²+2t+6;|t²–6|=–t²+6

неравенство принимает вид:
–t²+2t+6+t²–6 ≥ 0
2t ≥ 0
t ≥ 0
Решение неравенства:
0 ≤ t <2

⇒ x ∈ [0;2)

Решением неравенства (#) является объединение полученных решений:

(–3;–√6]U (–√6;–2] U [0;2)=(–3;–2] U[0;2)


Обратный переход:

–3 < log₂x ≤ –2 или 0 ≤ log₂x < 2 ⇒

log₂2^–3<log₂x ≤ log₂2^–2 или log₂1 ≤ log₂x <log₂2²

Логарифмическая функция с основанием 2 > 1 возрастающая, поэтому:

2^–3<x ≤ 2^–2 или 1 ≤ x <2²

[m]\frac{1}{8}[/m] < x ≤ [m]\frac{1}{4}[/m] или 1 ≤ x <4

О т в е т.( [m]\frac{1}{8}[/m]; [m]\frac{1}{4}[/m] ] U [ 1 ;4)