Задача 29740 ...

slava191

2018-09-22 09:20:13

|2sinx+2cosx+tgx+ctgx+1/sinx+1/cosx| ≤ 2 [7.57]

sova

2018-10-03 21:58:56

★

Замена переменной:
sinx+cosx=t.
Возводим в квадрат
sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=t^2

sinx*cosx=(t^2-1)/2

Неравенство принимает вид

|2t + (2/(t^2-1))+(2t/(t^2-1))| ≤ 2

2*|(t^3+1)/(t^2-1)|≤ 2

|(t^3+1)/(t^2-1)|≤ 1

-1 ≤( t^2-t+1)/(t-1) ≤ 1; t ≠ -1

{t ≠ -1
{(t^2-t+1)/(t-1) - 1 ≤ 0 ⇒ (t^2-2t+2)/(t-1) ≤ 0
{t^2-t+1)/(t-1)+1 ≥ 0 ⇒ (t^2)/(t-1) ≥ 0

Так как t^2-2t+2 >0 при любом t ⇒ t-1 <0
значит неравенство t^2/(t-1)≥ 0 верно при
t^2≤0

Решение системы t=0

sinx+cosx=0
tgx=-1
x=(-π/4)+πk, k ∈ Z

О т в е т. (-π/4)+πk, k ∈ Z