Задача 47247 Кривая вращается вокруг оси. Вычислить...

annyanne

2020-04-15 20:03:51

Кривая вращается вокруг оси. Вычислить площадь поверхности вращения:

sova

2020-04-15 20:36:21

x`_(t)=-2Rsint+2Rsin2t
y`_(t)=2Rcost-2Rcos2t

(x`_(t))^2=(-2Rsint+2Rsin2t)^2=4R^2sin^2t-8R^2sint*sin2t+4R^2sin^22t
(y`_(t))^2=(2Rcost-2Rcos2t)^2=4R^2cos^2t-8R^2cos*cos2t+4R^2cos^22t

[b](x`_(t))^2+(y`_(t))^2=[/b] 4R^2*([b]sin^2t+cos^2t[/b])+4R^2*([b]sin^22t+cos^22t[/b])+

-8R^2*(sint*sin2t+cost*cos2t)=8R^2*(1-cost)=8R^2*2sin^2(t/2)=[red]16R^2sin^2(t/2)[/red]

[b]sin^2t+cos^2t[/b]=1
[b]sin^22t+cos^22t[/b]=1


cost*cos2t+sintsin2t=cos(2t-t)=cost

sqrt((x`_(t))^2+(y`_(t))^2)=[red]4R*sin(t/2)[/red]

S=2π ∫ ^(2π)_(0)(2Rsint-Rsin2t)4R*sin(t/2) dt=


=2π ∫ ^(2π)_(0)2Rsint*4R*sin(t/2) dt-2π ∫ ^(2π)_(0)Rsin2t*4R*sin(t/2) dt=

=16πR^2 ∫ ^(2π)_(0)sint*sin(t/2) dt-8πR^2 ∫ ^(2π)_(0)sin2t*sin(t/2) dt=...

Применяем формулы

sin α *sin β =