Задача 33901 Определить градиент и производную...

help

2019-02-26 00:07:55

Определить градиент и производную заданной функции z = arctg(y/x) в т M0(1,1) в направлении линии х^2+ у^2 = 2х в сторону возрастания аргумента х.

sova

2019-02-26 09:20:35

★

(arctgu)`=u`/(1+u^2)

z`_(x)=(y/x)`_(x)/(1+(y/x)^2)= (-y/x^2) / (x^2+y^2)/x^2) = -y/(x^2+y^2)

z`_(y)=(y/x)`_(y)/(1+(y/x)^2)= (1/x) / (x^2+y^2)/x^2) = x/(x^2+y^2)

z`_(x)(M_(o))=z`_(x)(1;1)= - 1/2;

z`_(y)(M_(o))=z`_(x)(1;1) = 1/2;

grad z= z`_(x)* vector{i} + z`_(y)* vector{j}

grad z_(M_(o))= z`_(x)(M_(o))* vector{i} + z`_(y)(M_(o))* vector{j}=

=(-1/2)*vector{i} + (1/2)* vector{j}

Производная по направлению кривой в точке совпадает с производной по направлению касательной.

Угловой коэффициент касательной к кривой

x^2+y^2=2x

Дифференцируем

(x^2+y^2)`=(2x)`

2x+2y*y`=2 ⇒ y`=(2-2x)/2y;

y`=(1-x)/y

y`(M_(o))=y`(1;1)=0

Значит касательная параллельна оси Ох

α =0 ;
β =90^(o)

cos α =1; cos β =0

∂z/∂l =z`_(x)*cos α +z`_(y)*cos β

∂z/∂l _(M_(o)) =(-1/2)*1 +(1/2)*0=-1/2