Задача 33901 Определить градиент и производную...

help

26 февраля 2019 г. в 00:07

Определить градиент и производную заданной функции z = arctg(y/x) в т M0(1,1) в направлении линии х²+ у² = 2х в сторону возрастания аргумента х.

sova

26 февраля 2019 г. в 09:20

★

(arctgu)`=u`/(1+u²)

z`<sub>x</sub>=(y/x)`_x/(1+(y/x)²)= (–y/x²) / (x²+y²)/x²) = –y/(x²+y²)

z`<sub>y</sub>=(y/x)`_y/(1+(y/x)²)= (1/x) / (x²+y²)/x²) = x/(x²+y²)

z`<sub>x</sub>(M<sub>o</sub>)=z`_x(1;1)= – 1/2;

z`<sub>y</sub>(M<sub>o</sub>)=z`_x(1;1) = 1/2;

grad z= z`<sub>x</sub>· i + z`_y· j

grad z_Mo= z`<sub>x</sub>(M<sub>o</sub>)· i + z`_y(M_o)· j=

=(–1/2)·i + (1/2)· j

Производная по направлению кривой в точке совпадает с производной по направлению касательной.

Угловой коэффициент касательной к кривой

x²+y²=2x

Дифференцируем

(x²+y²)`=(2x)`

2x+2y·y`=2 ⇒ y`=(2–2x)/2y;

y`=(1–x)/y

y`(M<sub>o</sub>)=y`(1;1)=0

Значит касательная параллельна оси Ох

α =0 ;
β =90^o

cos α =1; cos β =0

∂z/∂l =z`<sub>x</sub>·cos α +z`_y·cos β

∂z/∂l _Mo =(–1/2)·1 +(1/2)·0=–1/2