Задача 28739 y'' - 3y' - 4y = x...

u21711895109

28 июня 2018 г.

y'' – 3y' – 4y = x

SOVA

28 июня 2018 г.

Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y``–3y`–4y=0
Cоставляем характеристическое уравнение
k²–3k–4=0
D=(–3)²–4·(–4)=25
k₁=(3–5)/2=–1 или k₂=(3+5)/2=4
Общее решение однородного уравнения в этом случае
( два действительных различных корня) имеет вид
y_{общее одн}=С₁e^–x+C₂e^4x

Частное решение данного неоднородного уравнения со специальной правой частью f(x)=x находим в виде
y_част=Ax+B
y`_част=A
y``_част=0

Подставляем в данное уравнение
0–3А–4Ax–4B=x
Два многочлена равны, если равны их степени и коэффициенты при одинаковых степенях переменной
–4А=1
–3А–4В=0

А=–1/4
В=(–3/4)А=(–3/4)·(–1/4)=3/16

y_част=(–1/4)х+(3/16)
О т в е т. y=y_{общее одн.}+y_част=
=С₁e^–x+C₂e^4x+(–1/4)x+(3/16)