Задача 8539 Y=(5x^2-12x+12)*e^x+12 Найдите точку...
Условие
Решение
Найдем производную функции
y'=(5x^2–12x+12)'·e^x+(5x^2–12x+12)·(e^x)'+(12)'=(10x-12)·e^x+(5x^2–12x+12)·e^x+0=e^x(10x-12+5x^2-12x+12)+0=e^x(5x^2-2x)
Найдем критические точки функции, для этого приравняем производную к нулю
e^x(5x^2-2x)=0
Откуда
5x^2-2x=0
х(5х-2)=0
х=0 или х=2/5
Эти две точки разбивают координатную прямую на три промежутка. Найдем значение производной на каждом промежутке:
e^x>0
y'(-1)=-1(5(-1)-2)=-1*(-7)=7
Производная на промежутке (-∞;0) положительна, значит функция возрастает на этом промежутке.
y'(0,1)=0,1(5*0,1-2)=0,1*(-1,5)=-0,15
Производная на промежутке (0;2/5) отрицательна, значит функция убывает на этом промежутке.
y'(1)=1(5*1-2)=1*3=3
Производная на промежутке (2/5;+∞) положительна, значит функция возрастает на этом промежутке.
Так как в точке х=0 производная меняет знак с "+" на "-", то х=0 - точка максимума функции
y(0)=(5*0^2–12*0+12)·e^0+12=12*1+12=24
Все решения
ОДЗ: (-∞;∞)
Находим производную
y'=(5x²–12x+12)'·eˣ⁺¹²+(5x²–12x+12)·(eˣ⁺¹²)'=
=(10x–12)·eˣ⁺¹²+(5x²–12x+12)·eˣ⁺¹²·(x+12)`=
=eˣ⁺¹²(10x–12+5x²–12x+12)=eˣ⁺¹²(5x²–2x).
y`=0
так как eˣ⁺¹²>0 при любом х, то
5x²–2x=0
х(5х–2)=0
х=0 или х=2/5
Эти две точки разбивают координатную прямую на три промежутка.
-----------(0)------(2/5)---------
Найдем значение производной на каждом промежутке:
y'(–12)=1(5·(–12)²–2·(-12))>0
Производная на промежутке (–∞;0) положительна, значит функция возрастает на этом промежутке.
y'(0,1)=e^{12,1}·(5·(0,1)²–2·0,1)=e^{12,1}·(0,05–0,2)=e^{12,1}·(–0,15)<0
Производная на промежутке (0;2/5) отрицательна, значит функция убывает на этом промежутке.
y'(1)=e¹³·(5·1²–2·1)=e¹³·3>0
Производная на промежутке (2/5;+∞) положительна, значит функция возрастает на этом промежутке.
Так как в точке х=0 производная меняет знак с "+" на "–", то х=0 – точка максимума функции
y(0)=e¹²(5·0²–12·0+12)=12·e¹²
О т в е т. х=0 - точка максимума.