Задача 31259 пожалуйста, помогите решить выделенные...
Условие
Все решения
e^(x)*(e^(tgx-x)-1)/(tgx-x)
Замена
tgx-x=t
x→0
t→0
Cледствие второго замечательного предела.
lim_(x→0)e^(x)*lim_(t→0)(e^(t)-1)/t=e^(0)*1=1
О т в е т. 1
Далее два задания на применение
формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
1340.
e^(x)=1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+(x^5/5!)+o(x^5)
тогда числитель
e^(x)-(x^3/6)-(x^2/2)-x-1=1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+(x^5/5!)+o(x^5)=(x^5/5!)+o(x^5)
cosx=1-(x^2/2!)+(x^4/4!)+o(x^5)
знаменатель
сosx + (x^2/2)-1=1-(x^2/2!)+(x^4/4!)+o(x^5)+(x^2/2)-1=(x^4/4!)+o(x^5)
О т в е т. lim_(x→0)(x^5/5)/(x^4/4!)=0
1341.
e^(x^2)=1+x^2+((x^2)^2)/2!)+((x^2)^3/3!)+o((x^3)^2)
тогда числитель
e^(x^2)-x^3=1+x^2+(x^4/2!)+o(x^4) - x^3
sIn^22x=(1-cos4x)/2=1-(1-(4x)^2/2!)+((4x)^4/4!)+o(x^5))/2=
=(x^4/6)+o(x^5)
знаменатель
sIn^62x=(sin^22x)^3=4^3*x^12+o(x^12)
О т в е т. 1/0= ∞
Но не уверена.
1343
Правило Лопиталя
=lim_(x→0)(1/sin2x)*(sin2x)`/((1/sinx)*(sinx)`)=
=lim_(x→0)(2cos2x/sin2x)*(sinx/cosx)= (sin2x=2sinxcosx)=
=lim_(x→0)(2cos2x/2cos^2x)=2/2=1
1344
Правило Лопиталя
=lim_(x→0)(1/x)/((1/sinx)*(sinx)`)=
=lim_(x→0)(sinx/(x*cosx))=lim_(x→0)(sinx/x)*lim_(x→0)(1/cosx)=1*1=1
1345
Замена
x-1=t
x→1, t→0
tg(π/2)x= tg((π/2)(t+1))=tg((πt/2)+(π/2))=-ctg(πt/2)
ctgπx= ctgπ(t+1)=ctg(πt+π)=ctgπt
lim_(t→0)(lnt - ctg(πt/2))/(ctgπt) ... ( в числителе ∞- ∞) в знаменателе ( ∞)
Не знаю, правило Лопиталя не применить. Формула Тейлора? разложение котангенса ? ...
1346
lim_(х→+∞)(x^n)/e^(x) = ∞ / ∞ применяем правило Лопиталя n раз
=lim_(х→+∞) (n1/e^(x))=(константа / ∞ )=0