Задача 30069 найти минимальное значение...

vk344135258

8 октября 2018 г. в 21:18

найти минимальное значение выражения
4a⁶ – a³ b⁴ + 2b⁸ – 4b⁴ + 5

sova

8 октября 2018 г. в 21:31

★

Группируем слагаемые так, чтобы можно было выделить полные квадраты:
(4a⁶–4a³b⁴+b⁸)+4a³b⁴–a³b⁴+(b⁸–4b⁴+4)+1=

=(2a³–b⁴)²+(b⁴–2)²+3a³b⁴+1

(2a³–b⁴)² ≥ 0 при любых a и b
наименьшее значение (2a³–b⁴)²
при 2a³=b⁴
значит при a³=b⁴/2

(b⁴–2)² ≥ 0 при любых a и b

наименьшее значение (b⁴–2)² при b⁴=2


Значит минимальность данного выражения

при b⁴=2; a³=b⁴/2=1

0+0+ 3a³b⁴+1=3·1·2+1=7

О т в е т. 7