Задача 12523 ...

slava191

24 декабря 2016 г.

Найдите все а, при каждом из которых уравнение log_x–1(4^x+1–3·2^x–a)=0 имеет ровно один корень, удовлетворяющий неравенству |x–2| ≤ 1.

SOVA

25 декабря 2016 г.

★

ОДЗ: х–1 > 0 , x–1 ≠ 1.
x∈(1;2)U(2;+∞)
По условию:

|x–2|≤ 1 ⇒ –1 ≤ x–2 ≤1 ⇒ 1≤ x ≤3

Учитывая ОДЗ:
1 < х < 2 и 2 < x ≤ 3.

4^x+1–3·2^x–a=(x–1)⁰;
4^x+1–3·2^x–1=a;
Замена переменной
2^x=t; 4^x+1=4t².
если 1 < х < 2, то 2 < 2^x < 2²⇒ 2 < t < 4
если 1 < х ≤ 3, то 2 < 2^x ≤ 2³⇒ 4 < t ≤ 8
Переформулируем задачу.
При каких значениях параметра а уравнение
4t²–3·t–1=a
имеет ровно один корень, принадлежащий (2;4)U(4;8]


Исследуем график функции у=4t²–3·t–1
y`=8t–3
t=3/8 – точка минимума
значит на (3/8;+ ∞) функция возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз и на (2;4) U(4;8] тоже возрастает.

И график функции у =4t²–3·t–1 будет иметь ровно одну точку пересечения с графиком у=а.

при t=2 4·2²–3·2–1=a
a=9
t=4 при а=51
при t=8 4·8²–3·8–1=a
a=231
О т в е т. 9 < a < 51 и 51 < а ≤231