Задача 37943 Решить Диф уравнение y''+y=tg^2(x)...

giroscop

2019-06-04 21:06:31

Решить Диф уравнение
y''+y=tg^2(x)

sova

2019-06-04 21:35:49

Решаем однородное уравнение:
y``+y=0

Составим характеристическое уравнение:
k²+1=0 ;
k=±i ;
y_(однород)=C_(1)cosx+C_(2)sinx

Применяем метод вариации произвольных постоянных
Для этого константы С_(1) и С_(2) считаем зависящими от х

[b]y=C_(1)(х)*cosx+C_(2)(х)*sinx (#)[/b]


C_(1) x и С_(2)(х) находим из системы:

{ C’_(1)(x)cosx+C`_(2)(x)sinx=0;
{C`_(1)(x)*(-sinx)+C’_(2)(x)*cosx=tg²x;

Из первого уравнения: С’_(1)(x)=-C`_(2)(x)tgx,

подставляем во второе,

получаем

-C`_(2)(x)tgx*(-sinx)+C`_(2)(x)*cosx=tg²x

C`_(2)(x) * (1/cosx)=tg²x


C’_(2)(x)=sin²x/cosx


C_(2)(x)=∫sin²xdx/cosx =∫(1-cos²x )dx /cosx =

=∫(dx /cosx -∫(cos²x )dx /cosx =


=ln|tg((x/2)+(π/4)))-sinx+C_(3)

[b]C_(2)(x)=ln|tg((x/2)+(π/4)))-sinx+C_(2)[/b]

C`_(1)(x) =(-sin²x/cosx )*tgx

C`_(1)(x)=-sin^3x/cos^2x

С_(1)= ∫ (-sin^3x/cos^2x)dx=-∫ (sinx* sin^2xdx)/cos^2x=

=-∫ (sinx* (1-cos^2x)dx)/cos^2x=-∫ (sinx)dx)/cos^2x+∫ sinxdx=

=-(1/cosx) - cosx + C_(1)


и подставляем в (#)


[b]y=((-1/cosx)-cosx+C_(1))*cosx+(ln|tg((x/2)+(π/4)))-sinx+C_(2))*sinx [/b]

y=-1 -cos^2x+C_(1)cosx+sinx* ((ln|tg((x/2)+(π/4))) -sin^2x+ C_(2)sinx

[b]y=-2+C_(1)cosx+sinx* ((ln|tg((x/2)+(π/4))) + C_(2)sinx[/b] -
о т в е т.