Задача 37818 Отрезки, соединяющие основания высот...

foxy

2019-05-30 17:43:06

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 5, 12, 13.Найдите радиус описанной около треугольника окружности.Пожалуйста можно подробное решение.

sova

2019-05-30 20:37:18

★

Так как 5^2+12^2=13^2
то Δ А_(1)В_(1)С_(1) - прямоугольный.
A_(1); B_(1),C_(1) - основания высот

Продолжим высоты AA1 , BB1 и CC1 до пересечения с окружностью, описанной около Δ АВС, в точках A_(2) , B_(2) и C_(2) соответственно.

P- точка пересечения высот

Тогда A1 , B1 и C1 — середины отрезков РA_(2) , РB_(2) и РC_(2) ,
поэтому A1B1 , A1C1 и B1C1 — средние линии треугольников
A_(2)РB_(2) , A_(2)РC_(2) и B_(2)РC_(2) .

Значит, треугольник A_(2)B_(2)C_(2) подобен треугольнику A1B1C1

Треугольник A1B1C1 — прямоугольный , значит треугольника A_(2)B_(2)C_(2) также прямоугольный, причём его угол, лежащий против наибольшей стороны, равен 90 градусов .
Следовательно, диаметр описанной окружности треугольника A_(2)B_(2)C_(2) , а значит, и треугольника ABC , равен гипотенузе треугольника A_(2)B_(2)C_(2) , т.е. 26, а искомый радиус равен половине диаметра, т. е 13.