Найдите все а, при которых уравнение имеет ровно 2 корня
D=a^2-4π^2
Если D < 0 уравнение x^2-ax+π^2 =0 не имеет корней и
неравенство не выполняется ни при каких х.
Значит, D ≥ 0
a^2-4π^2 ≥ 0
⇒
[b]|a| ≥ 2π[/b]
Неравенство верно при
(a-sqrt(a^2-4π^2))/2 ≤ x ≤ (a+sqrt(a^2-4π^2))/2
Теперь решаем уравнение.
[i]Замена переменной.[/i]
sqrt(x^2-ax+π^2)=у
При любых x из ОДЗ
sqrt(x^2-ax+π^2) ≥ 0
[red]у ≥ 0[/red]
sinу+cos2у=0
sinу+(1-2sin^2у)=0
2sin^2у-sinу-1=0
D=1-4*2*(-1)=9
siny=-1/2 или siny=1
y=(-1)^(k)*(-π/6)+πk ИЛИ y=(π/2)+2πn, [b] k,n ∈ Z[/b]
Корни y=(-1)^(k)*(-π/6)+πk удобнее записать в виде:
(-π/6)+2πk, k ∈ [b]Z[/b] и (-5π/6)+2πm, m ∈ [b]Z[/b]
Так как [red] y≥ 0[/red] то корни:
y=(-π/6)+2πk, k ∈[b] N[/b] или y= (-5π/6)+2πm, m ∈ [b]N[/b]
ИЛИ
y=(π/2)+2πn, n ∈[b]{0}UN[/b]
Так как y ≥ 0, то
sqrt(x^2-ax+π^2)=у- уравнение полуокружности.
с учетом [b]|a| ≥ 2π[/b]
[b]ax-x²-π²=y² [/b]-это уравнение окружности,
запишем его в виде:
(x-(a/2))²+y²=(a/2)²-π²
(a/2;0) R=sqrt((a/2)²-π²)
Значит y ограничено этой полуокружностью,
[green]0 ≤ у ≤ sqrt((a/2)²-π²)[/green]
Надо посмотреть какие y:
[green]y[/green]=(-π/6)+2πk, k ∈[b] N[/b] или [green]y[/green]= (-5π/6)+2πm, m ∈ [b]N[/b]
ИЛИ
[green]y[/green]=(π/2)+2πn, n ∈[b]{0}UN[/b]
удовлетворяют этому неравенству