Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 44431 ...

Условие

sin(√(ax–x²–π²))+cos(2(√(ax–x²–π))=0
Найдите все а, при которых уравнение имеет ровно 2 корня

математика 10-11 класс 3477

Все решения

ОДЗ: ax-x^2-π^2 ≥ 0 ⇒ x^2-ax+π^2 ≤ 0
D=a^2-4π^2
Если D < 0 уравнение x^2-ax+π^2 =0 не имеет корней и
неравенство не выполняется ни при каких х.

Значит, D ≥ 0
a^2-4π^2 ≥ 0

[b]|a| ≥ 2π[/b]

Неравенство верно при
(a-sqrt(a^2-4π^2))/2 ≤ x ≤ (a+sqrt(a^2-4π^2))/2


Теперь решаем уравнение.
[i]Замена переменной.[/i]
sqrt(x^2-ax+π^2)=у

При любых x из ОДЗ
sqrt(x^2-ax+π^2) ≥ 0

[red]у ≥ 0[/red]

sinу+cos2у=0
sinу+(1-2sin^2у)=0
2sin^2у-sinу-1=0
D=1-4*2*(-1)=9

siny=-1/2 или siny=1

y=(-1)^(k)*(-π/6)+πk ИЛИ y=(π/2)+2πn, [b] k,n ∈ Z[/b]

Корни y=(-1)^(k)*(-π/6)+πk удобнее записать в виде:

(-π/6)+2πk, k ∈ [b]Z[/b] и (-5π/6)+2πm, m ∈ [b]Z[/b]

Так как [red] y≥ 0[/red] то корни:
y=(-π/6)+2πk, k ∈[b] N[/b] или y= (-5π/6)+2πm, m ∈ [b]N[/b]
ИЛИ
y=(π/2)+2πn, n ∈[b]{0}UN[/b]



Так как y ≥ 0, то

sqrt(x^2-ax+π^2)=у- уравнение полуокружности.
с учетом [b]|a| ≥ 2π[/b]


[b]ax-x²-π²=y² [/b]-это уравнение окружности,

запишем его в виде:

(x-(a/2))²+y²=(a/2)²-π²

(a/2;0) R=sqrt((a/2)²-π²)

Значит y ограничено этой полуокружностью,
[green]0 ≤ у ≤ sqrt((a/2)²-π²)[/green]

Надо посмотреть какие y:

[green]y[/green]=(-π/6)+2πk, k ∈[b] N[/b] или [green]y[/green]= (-5π/6)+2πm, m ∈ [b]N[/b]
ИЛИ
[green]y[/green]=(π/2)+2πn, n ∈[b]{0}UN[/b]

удовлетворяют этому неравенству






Вопросы к решению (1)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК