Задача 48351 Основание пирамиды SABCD - квадрат ABCD,...

slava191

2020-04-25 15:56:57

Основание пирамиды SABCD - квадрат ABCD, боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. BC = 2SA. Точка М - середина ребра АВ. [Ларин 14]

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую SM параллельно BD, - равносторонний треугольник

б) Найдите расстояние между прямыми SM и BD, если AB = 6sqrt(3)

sova

2020-04-25 22:58:20

★

a)
SA ⊥ плоскости основания ABCD ⇒
Δ SAD и Δ SAB - прямоугольные.

Пусть SA=[b]a[/b]
так как по условию BC = 2SA, то BC=2a;
ABCD - квадрат,
ВС=AD=AB=2a

M- середина ребра АВ ⇒ АМ=МВ=a

Проводим прямую MK || BD

MK- средняя линия Δ ADB.

MK=BD/2=sqrt((2a)^2+(2a)^2)/2=sqrt(8a^2)/2=2sqrt(2)a/2=[b]asqrt(2)[/b]

Значит, АК=КD=a

Прямоугольные треугольники Δ AKSи Δ АМS равны по двум катетам:
AS- общий
АК=АМ=a

Значит, SK=SM=sqrt(a^2+a^2)=[b]a*sqrt(2)[/b]

Сечение SKM - равнобедренный треугольник (SK=SM)
и BD || пл SKM, так как BD || MK.
и так как MK=SK=SM=[b]a*sqrt(2)[/b], то Δ SKM - равносторонний.

б)

Введем систему координат.

D(0;0;0); C(2a;0;0); B(2a; 2a;0); A(0;2a;0)
S(0;2a;a)

M(a;2a;0); K(0;a;0)

Составим уравнение плоскости SKM, как плоскости, проходящей через три точки: S(0;2a;a); M(a;2a;0); K(0;a;0)

[m]\begin{vmatrix} x &y-2a &z-a \\ a & 0 & -a\\ 0 & -a &-a \end{vmatrix}=0[/m]


[m] x +y-z-a=0[/m]

Расстояние от прямой BD до плоскости, это расстояние от точки O - середины BD до плоскости.

O (a;a)

По формуле расстояния от точки до плоскости ( см формулу в приложении)

[m]d=\frac{|a+a-0-a|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}[/m]

По условию
АВ=6sqrt{3}

АВ=[m]2а[/m] и [m]2а=6 \sqrt{3}[/m] ⇒[m] а=3 \sqrt{3}[/m]

[m]d=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=3[/m]

б) О т в е т. [b]3[/b]