Задача 35026 найти проекцию точки (0;-1;-4) на...

yelymcheav

27 марта 2019 г. в 19:38

найти проекцию точки (0;–1;–4) на прямую
{2x+y–z=0
{3x–y–z–2=0

sova

27 марта 2019 г. в 21:41

★

Плоскости 2x+y–z=0 и 3x–y–z–2=0 пересекаются по прямой, на ней бесчисленное множество точек.
Найдем две точки, принадлежащие прямой

Пусть первая координата х=0
{y–z=0
{–y–z–2=0
Складываем
–2z–2=0
z=–1
y=z=–1
A(0;–1;–1)

Пусть z=0.
Тогда
{2x+y=0
{3x–y–2=0
Складываем
5х–2=0
х=2/5=0,4
y=–2x=–0,8
В(0,4;–0,8;0)

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через две точки:

(x–0)/(0,4–0)=(y–(–1))/(–0,8–(–1))=(z–(–1))/(0–(–1))

x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1 – каноническое уравнение прямой

Направляющий вектор прямой a=(0,4;0,2;1)

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P, перпендикулярно прямой.
При этом направляющий вектор прямой = нормальный вектор плоскости
0,4·(x–0)+0,2·(y–(–1))+1·(z–(–4))=0
0,4x+0,2y+z+4,2=0

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

Для этого напишем параметрические уравнения прямой:

Обозначим

x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1= t ( вводим параметр)

Параметрическое уравнение прямой :
{x=0,4t
{y=0,2t–1
{z=t–1

Подставляем их в уравнение плоскости:

0,4·(0,4t)+0,2·(0,2t–1)+(t–1)+4,2=0

1,2t+3=0
t=3/1,2=30/12=10/4=2,5

При t=2,5

x=0,4t=0,4·2,5=1
y=0,2t–1=0,2·2,5–1=–0,5
z=t–1=2,5–1=1,5

Это и есть координаты проекции точки Р

О т в е т. (1;–0,5;1,5)