Задача 36466 Найдите все значения параметра a, при...

sanyakap

26 апреля 2019 г. в 21:08

Найдите все значения параметра a, при которых наименьшее значение функции
f(x)=ax−2a−1+|x²−x−2|
меньше –2

sova

26 апреля 2019 г. в 21:44

Раскрываем модуль по определению

Первый случай

Если x²–x–2 ≥ 0
⇒ |x²−x−2|=x²−x−2 при х≤ –1 или x ≥ 2

f(x)=x²+(a–1)x–2a–3

f`(x)=2x+(a–1)

f`(x)=0

2x+(a–1)=0

x=(1–a)/2

y((1–a)/2)=((1–a)/2)²+(a–1)·(1–a)/2–2a–3=(1–a)²/4 –(1–a)²/2 – 2a–3=

=(–(1–a)²–8a–12)/4=(–a²–6a–13)/4

Если абсцисса вершины x_o=(1–a)/2
находится между точками –1 и 2, т.е
–1 ≤ (1–a)/2 ≤ 2, то наименьшее значение не в вершине (!!!), а в точках x =–1 или x=2 ( cм. рис.1)

f(–1)=(–1)²+(a–1)·(–1)–2a–3=–3a–1
f(2)=2²+(a–1)·2–2a–3=–1 >–2

Поэтому
значение параметра а находим из системы
(1)
{–1 < (1–a)/2 < 2⇒ –3 < a < 3
{–3a–1<–2⇒ a > 1/3

О т в е т (1) (1/3;3)

Если абсцисса вершины x_o=(1–a)/2 находится вне (–1;2), то наименьшее значение в вершине ( неважно слева от –1
или справа от 2 см. рис. 2)
значение параметра а находим из системы
(2)
{(1–a)/2 ≤ –1 или (1–a)/2 ≥2 ⇒ a≥3 или а ≤ –3
{(–a²–6a–13)/4<–2 ⇒ a²+6a+5>0 ⇒ a < –5 или a> –1

О т в е т (2) (–∞; –5) U [3;+∞)

О т в е т первого случая объединение ответов (1) и (2)
(–∞; –5) U (1/3;3)U [3;+∞)= (–∞; –5) U (1/3;+∞)



Второй случай

Если x²–x–2 < 0
⇒ |x²−x−2|=–x²+x+2 при –1 ≤ x ≤ 2

f(x)=–x²+(a+1)x–2a+1 – графиком служит парабола, ветви которой направлены вниз.

Значит в вершине параболы всегда наибольшее значение.
а наименьшее значение данная функция принимает на концах интервала
либо в точке х=–1 либо в точке х=2

Так как f(2)=–4+2(a+1)–2a+1=–1 > –2
Значит наименьшее значение в точке x=–1
f(–1)=–(–1)²+(a+1)·(–1)–2a+1=–3a–1

–3a–1 < –2 ⇒ a > 1/3
О т в е т второго случая объединение ответов (1/3;+∞)

О т в е т. Объединение ответов первого и второго случаев
(–∞; –5) U (1/3;+∞)